Méthode de l'hyperbole
dans Arithmétique
Bonsoir,
Je cherche une démonstration de la formule suivante :
$ \forall x \geq 1, \forall y>x, S_{f\ast g} (x) = \sum\limits_{1\leq n \leq y} g(n)S_f (\frac{x}{n} )+ \sum\limits_{1\leq n \leq \frac{x}{y} } f(n) S_g (\frac{x}{n}) - S_f (\frac{x}{y})S_g (y) $
Avec : $ S_h (x) = \sum
\limits_{n \leq x} h(n) $ et ' $ \ast $ ' la convolution de Dirichlet définie par : $ (f\ast g)(n)= \sum\limits_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d}) $
En auriez-vous une à me fournir ? Merci d'avance.
Je cherche une démonstration de la formule suivante :
$ \forall x \geq 1, \forall y>x, S_{f\ast g} (x) = \sum\limits_{1\leq n \leq y} g(n)S_f (\frac{x}{n} )+ \sum\limits_{1\leq n \leq \frac{x}{y} } f(n) S_g (\frac{x}{n}) - S_f (\frac{x}{y})S_g (y) $
Avec : $ S_h (x) = \sum
\limits_{n \leq x} h(n) $ et ' $ \ast $ ' la convolution de Dirichlet définie par : $ (f\ast g)(n)= \sum\limits_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d}) $
En auriez-vous une à me fournir ? Merci d'avance.
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Réponses
C'est d'ailleurs le même auteur.
À propos, dans ton premier message, le paramètre, ici $y$, doit être inférieur à $x$ et non supérieur.
Quelles sont les différences entre les versions française et anglaise de ces thèmes d'arithmétique ?
Celui de Springer va nettement plus loin.
Ceci dit, pour débuter, mieux vaut l'Ellipses.
Merci noix de totos, je viens de voir qu'on fait même un petit tour du côté des corps de classes sur $\Q$ dans la version anglaise !
Je crois même que l'auteur prépare une seconde édition du Springer fortement remaniée et modifiée à plus de 75%.
Il faut bien reconnaître qu'il est très difficile actuellement d'obtenir de nouveaux résultats significatifs en théorie algébrique des nombres, surtout sans le recours à la théorie analytique. On trouve quand même parfois des preprints qui ajoutent quelques lumières sur des sujets qu'on croyait pourtant bien connus depuis longtemps : https://arxiv.org/pdf/2005.01300.pdf
Mais là, on a pas mal dévié du sujet initial de ce fil...
Merci d'avoir dégoté de quoi occuper une partie de ma journée...
L'article de Jakhar and co sur certains (pas tous, mais presque ?) discriminants de corps de nombres purs repose sur deux théorèmes de Ore appliqués au $p$-polygone de Newton associé à un polynôme de $\Z[X]$ (p.4).
Je n'ai rien trouvé d'élémentaire sur ces théorèmes.
Connaîtrais-tu une référence qui m'a échappé ?
Mais non je n'ai pas perdu la boule : je sais bien que je ne suis pas Ndt. Je me permets tout de même de répondre à ta question (du moins, essayer).
J'ai sous les yeux l'article de Jesus Montes & Enric Nart ``On a theorem of Ore'', Journal of Algebra, 146 318-334 (1992). Peux tu y jeter un oeil si c'est accessible ? (avec mon navigateur obsolète ..etc...). De manière générale, les espagnols Guardia, Montes, Nart ont beaucoup travaillé sur le calcul de la clôture intégrale en théorie des nombres, cf par exemple https://arxiv.org/pdf/1005.4596.pdf
La fin de l'introduction de "On a theorem of Ore" donne l'eau à la bouche !
We think that our result can be a key step to develop a very fast algorithm for obtaining prime ideal decomposition and integral basis. The major virtue of the algorithm will be that only polynomial-factoring routines over finite fields are needed.
Il m'a servi en particulier à obtenir des décompositions d'idéaux entiers de la forme $p \mathcal{O}_K$ en idéaux premiers dans le cas où $p$ divise l'indice $f$ du corps de nombres $K$.
À Rémi : effectivement, le principe de Dirichlet est quasiment né avec le problème des diviseurs de Dirichlet. Il a été ensuite étendu à tout produit de convolution de Dirichlet.