Caractérisation du pgcd
dans Arithmétique
Bonjour
Soient deux entiers naturels a et b. Notons D(a) l'ensemble des diviseurs de a.
On a D(a) inter D(b)=D(pgcd(a,b))
Pour prouver cette caractérisation, on utilise une récurrence forte sur b.
Je ne comprends pas cette preuve notamment dans l'hérédité, le rôle des lettres b et r.
Si l'hypothèse Hb est celle annoncée au début de la récurrence alors ne devrait-on pas avoir dans la récurrence D(a) inter D(r) = D(pgcd(a,r)) ?
Où est mon erreur ?
Merci.
Soient deux entiers naturels a et b. Notons D(a) l'ensemble des diviseurs de a.
On a D(a) inter D(b)=D(pgcd(a,b))
Pour prouver cette caractérisation, on utilise une récurrence forte sur b.
Je ne comprends pas cette preuve notamment dans l'hérédité, le rôle des lettres b et r.
Si l'hypothèse Hb est celle annoncée au début de la récurrence alors ne devrait-on pas avoir dans la récurrence D(a) inter D(r) = D(pgcd(a,r)) ?
Où est mon erreur ?
Merci.
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Réponses
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@jp59 : Bah on applique le "quel que soit $a$" de l'hypothèse de récurrence à l'entier $b$, aucun problème.
P.S. Non AD ! prière de ne pas faire des correction intempestives ! Merci.
@Poirot
La preuve de la photo me résiste toujours . Dans l'hypothèse de récurrence même si on a "quel que soit a", l'indice du H est bien b et non a. Or dans l'hérédité il est écrit Hr et le a n'apparaît pas au moment où l'hypothèse de récurrence est utilisée.
Si H(0) est vrai
Si (quel que soit r<b, H(r)) implique H(b)
Alors H(b) est vrai pour tout entier naturel b.
Cordialement.
Mais la preuve donnée par Jp59 le fait. Je suis resté dans son cadre. Et comme je n'ai regardé que l'aspect logique, je n'ai pas regardé si on pouvait la faire fonctionner en supprimant le paragraphe "supposons b=0" et en commençant le suivant par "soit $b \in \mathbb N$.
D'ailleurs, quid de "la division euclidienne de a par b" quand b est nul ?
Donc le "pas besoin de l'hypothèse sur 0" n'est vrai que si la preuve générale traite aussi le cas 0.
Cordialement.
Cordialement.