ppcm dans $\mathbb Z$

Rescassol écrivait:

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> Bonjour,
>
> $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux, ainsi que $n+1$ et $n+2$.
>
> Cordialement,
>
> Rescassol

Et ensuite, à partir de la définition du ppcm, on applique deux fois le lemme de Gauss sans utiliser l'égalité $ab=pgcd(a,b) \times ppcm(a,b)$.

$\exists (k,k',k'') \in \mathbb{Z}^3 , ~ppcm(n, n+1, n(n+2)) = kn = k' (n+1) = k'' n (n+2)$.

$kn = k' (n+1)$ et $ pgcd(n, n+1) = 1 \Longrightarrow (n+1) / k \Longrightarrow \exists ~ k_1 \in \mathbb{Z}, ~kn = k_1 (n+1)n $.
$k_1 (n+1)n = k'' n(n+2)$ et $ pgcd(n+1, n+2) = 1 \Longrightarrow (n+2) / k_1$.
Donc : $n(n+1)(n+2) / ppcm(n, n+1, n(n+2)) ~~~ (*)$.

De plus : $n$, $(n+1)$ et $n(n+2)$ divisent $n(n+1)(n+2)$.
Donc : $ppcm(n, n+1, n(n+2))/n(n+1)(n+2) ~~~ (**)$.

Enfin : $(*)$ et $(**) \Longrightarrow ppcm(n, n+1, n(n+2)) = \lvert n(n+1)(n+2) \rvert$ en considérant que le $ppcm$ est défini comme positif ou nul.

Une autre méthode serait d'exprimer le $ppcm$ recherché à l'aide des décompositions en facteurs premiers de $n, ~(n+1) ~et~ n(n+2)$.