Infinité de nombres premiers
dans Arithmétique
Bonjour
Voici une preuve de l'infinité des nombres premiers.
Soit n entier naturel.
N=1+n! > 1 admet un diviseur premier p.
si p <= n alors p divise N (ok c'est par définition) et n! (c'est là que je ne comprends pas) donc p divise la différence =1 ce qui voudrait dire que p=1 (absurde)
donc p>n.
Pourquoi p <= n implique p divise n! ?
Merci.
Voici une preuve de l'infinité des nombres premiers.
Soit n entier naturel.
N=1+n! > 1 admet un diviseur premier p.
si p <= n alors p divise N (ok c'est par définition) et n! (c'est là que je ne comprends pas) donc p divise la différence =1 ce qui voudrait dire que p=1 (absurde)
donc p>n.
Pourquoi p <= n implique p divise n! ?
Merci.
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Réponses
$n!$ est divisible, en particulier, par tous les entiers naturels de $1$ à $n$.
Si $0<p\leq n$ alors $p$ divise $n!$.
NB: le nombre $p$ appartient à l'ensemble $\{1,2,...,n\}$
"p <= n implique p divise n!" je ne vois pas pourquoi ... au lieu de poser la question aux autres, je commence par décoder ce qui est écrit. la seule chose non évidente c'est n! Je me pose la question: C'est quoi, n! ? Ah oui, c'est 1*2*3* ... *(n-1)*n; et dans tous ces nombres, il y a entre autres p.
Cette technique élémentaire (décoder ce qui est écrit) fait gagner un temps fou, peu à peu elle se fait spontanément dans la tête, automatiquement, et on comprend 10 fois plus de choses.
Cordialement.
On se rend compte, et pour ma part c’est le plus souvent en Algèbre et en Arithmétique, que parfois un énoncé n’est qu’une paraphrase des définitions et notations quand « on les déplie », c’est-à-dire quand on les explicite.