Suite de triangulaires
dans Arithmétique
On pose pour $n\in\N^*$ et $a\in \R$ : $u_n=\Big\lfloor\dfrac{(22-9\sqrt 2)(3+2\sqrt 2)^{n+1}}{8}\Big\rfloor +a$.
Déterminer $a$ pour que $u_n \times u_{n+1}$ soit toujours un nombre triangulaire.
Déterminer $a$ pour que $u_n \times u_{n+1}$ soit toujours un nombre triangulaire.
Réponses
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$a=5$ convient.
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Exact (tu). Je pensais à un autre.
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$a=-4$ convient aussi.
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Merci jandri, je pense que $-4$ et $5$ sont les seules valeurs possibles.
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Posons $v_n=\dfrac{(22-9\sqrt 2)(3+2\sqrt 2)^{n+1}}{8}+\dfrac{(22+9\sqrt 2)(3-2\sqrt 2)^{n+1}}{8}$
On obtient $v_1=39,5$ , $v_2=229,5$ et si $x_1=3+2\sqrt 2$ et $x_2=3-2\sqrt 2$, nous obtenons
$x_1+x_2=6$ et $x_1\times x_2=1$. La suite $(v_n)$ est donc telle que $v_{n+2}=6v_{n+1} -v_{n}$.
On a alors $w_n=u_n+a=v_n-0,5+a$, et $(w_n)$ vérifie : $w_{n+2}=6w_{n+1}-w_{n}-4a+2$.
Le calcul de $8w_jw_{j+1}+1-(w_j+w_{j+1}+2a-1)^2$ donne $8w_jw_{j-1}+1-(w_j+w_{j-1}+2a-1)^2$.
La quantité $8w_jw_{j+1}+1-(w_j+w_{j+1}+2a-1)^2$ est un invariant pour cette suite.
En résolvant $8w_1w_{2}+1-(w_1+w_{2}+2a-1)^2=0$, on trouve $a=-4$ ou $a=5$.
Pour chacune de ces valeurs $8w_jw_{j+1}+1$ sera un carré, donc $w_jw_{j+1}$ sera triangulaire. -
Merci Cidrolin pour ce bel exercice, je suis entièrement d'accord avec ta résolution.
Ce que j'ai fait est un peu plus compliqué mais cela fait aussi intervenir les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ ainsi que la quantité $A_j=8w_jw_{j+1}+1-(w_j+w_{j+1}+2a-1)^2$.
Une fois qu'on a trouvé cette expression le plus rapide pour montrer qu'elle est constante est de factoriser $A_j-A_{j-1}$, cela donne tout de suite $0$.
J'ai trouvé que la suite $(u_n)$ est liée à la résolution de l'équation $x^2-2y^2=322$ par $x_n=4u_n+2$.
On trouve les mêmes valeurs de $a$ pour la suite $u'_n=\Big\lfloor\dfrac{(22+9\sqrt 2)(3+2\sqrt 2)^{n+1}}{8}\Big\rfloor +a$ -
Bonsoir,
Est ce que ça se généralise ?
Par exemple, avec $u_n=\Big\lfloor \alpha q^n\Big\rfloor +a$, quel est l'ensemble des $(\alpha,q)$ pour lesquels il y a un nombre fini de valeurs de $a$ répondant à la question ?
Cordialement,
Rescassol -
Cela ne se généralise pas beaucoup puisque la propriété $8u_nu_{n+1}+1=(u_n+u_{n+1}+c)^2$ impose que la suite $(u_n)$ vérifie la récurrence $u_{n+1}=6u_n-u_{n-1}-2c$ (si on met de côté le cas d'une suite de période 2).
Cela impose que $q=3+2\sqrt2$. Pour $\alpha$ il doit y avoir beaucoup de possibilités. -
Je reviens à la suite $u_n=\Big\lfloor\dfrac{(22-9\sqrt 2)(3+2\sqrt 2)^{n+1}}{8}\Big\rfloor$.
Cidrolin a démontré que pour $n\geq1$ les suites $a_n=(u_n-4)(u_{n+1}-4)$ et $b_n=(u_n+5)(u_{n+1}+5)$ sont formées de nombres triangulaires.
J'ai trouvé qu'il en est de même pour la suite $c_n=(u_n-4)(u_n+5)$. -
Merci jandri.
Il semble que $c_{n+2}=34c_{n+1}-c_{n}+326$. -
Oui, cela s'explique très bien.
Pour $n\geq1$, $u_n=\alpha a^{n+1}+\beta b^{n+1}+\gamma$ avec $a=3+2\sqrt2$, $b=3-2\sqrt2$, $\alpha=(22-9\sqrt2)/8$, $\beta=(22+9\sqrt2)/8$.
On en déduit $c_n=(u_n-4)(u_n+5)=\alpha^2a^{2n+2}+\beta^2b^{2n+2}+2\alpha\beta-81/4$.
La suite $(c_n)$ a donc comme équation caractéristique $x^2-34x+1=0$ qui a pour racines $a^2$ et $b^2$.
La constante $326$ se calcule sans difficultés.
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