Engendrer N

A priori la question est d'engendrer $\N$ à partir de 2 ensembles E et E'.. et pas une infinité. Et chacun de ces 2 ensembles E et E' contiendrait uniquement 5 éléments.
En voyant d'autres questions posées par Franckfranck, ça semble cohérent.

Et si la question est bien celle-ci, il n'y a pas de solution.

Je ne comprends absolument rien. J'ai donné un exemple d'ensemble $E$ contenant cinq éléments de chaque dizaine et te que $E+E=\mathbb N$, qu'est-ce qui ne va pas maintenant ?

Les $5$ nombres que je donne dans chaque dizaine ne sont pas tous de même parité. Je ne comprends toujours pas où est le problème.

Oui Gérard, on a bien sûr eu la même idée de construction. Reste à voir ce qui ne convient pas à franckfranck.

Heu ... quel rapport avec la question de Francfranck ?

Surtout après une réponse précise et évidente de Poirot.

Cordialement.

Franckfranck précisait dans ce message qu'il n'y en a que 5 par dizaine.

Oui, c'est souvent le problème quand le questionneur ne sait pas vraiment ce qu'il cherche.

Soit on a déjà répondu à ta question à plusieurs reprises, soit celle-ci est très mal posée depuis le début et tu demandes si pour toute telle partie $E$ on a $E+E=\mathbb N$. Dans ce cas, la réponse est non, il suffit d'imposer $0,1,2,3,4 \in E$. Alors $9 \not \in E+E$.

J'ai peur de faire un hors-sujet mais si on parle d'engendrer $\mathbb{N}$, quand j'étais en L3 et que j'essayais de comprendre la construction de $\mathbb{N}$ dans ZFC, j'ai demandé une fois à un prof d'algèbre s'il était possible de faire une construction purement multiiplicative de $\mathbb{N}$, et pas une construction additive comme celle où l'on pose $n+1 = n \cup \{n\}$ (oui, je fais des raccourcis). J'aurais trouvé ça fascinant à l'époque de trouver une manière de générer "sans $\mathbb{N}$" l'ensemble des nombres premiers (positifs), puis de fabriquer $\mathbb{N}$ multiplicativement à partir de celui-là. Mais je ne vois pas comment ça serait faisable (pour que les nombres premiers aient une particularité, il faut déjà disposer des autres nombres et de la notion de divisibilité...), donc je pars du principe que ça ne l'est pas.

Ben ... à part les fréquences des chiffres des unités, que veux-tu qu'il y ait à dire ?

Pourquoi cette question ?

Non,

en fait, j'ai lu trop vite ton énoncé. Et je m'interroge sur sa signification. les fréquences que tu as écrites sont bien des fréquences dans U ? Dans ce cas, je ne vois pas de réponse à ta question initiale. On sait trop peu de choses sur U.

Au fait, pourquoi ces questions ?

On peut parler de fréquence asymptotique pour une partie $A$ de $\mathbb N$ : il s'agit (quand la limite existe) de $$\lim_{n \to +\infty} \frac{\#(A \cap \{0, \dots, n\})}{n}.$$