Super-nombres de Poulet particuliers
dans Arithmétique
Bonjour
Je suis en train d'étudier les "super-nombres de Poulet", c'est-à-dire les entiers naturels non-nuls, composés, dont chaque diviseurs $d$ vérifie : $\quad d \mid 2^d-2.$
On remarque que c'est a priori une condition assez forte et on pourrait conjecturer qu'ils sont assez "rares". On en connaît pourtant pas mal et des pas si grands que ça https://oeis.org/A050217.
On sait que pour $p$ premier, $\ p \mid 2^p-2,\ $ or il existe certains nombres premiers tels que la condition plus forte $$p \mid 2^{\frac{p-1}{2}}-1$$ est vérifiée. Il existe même des nombres composés vérifiant cette dernière propriété.
J'ai déjà vérifié qu'il existe des nombres tels que chacun de leurs diviseurs $d$ vérifient $\ d \mid 2^{\frac{d-1}{2}}-1$ comme par exemple de $2047 = 23\times 89$, on a bien $1 \mid 2^0-1$, $23 \mid 2^{11}-1$, $89 \mid 2^{44}-1$ et $2047 \mid 2^{1023}-1.$
La question que je me pose est la suivante :
existe-t-il des nombres ayant 3 diviseurs premiers distincts et dont chaque diviseur $d$ vérifie $d \mid 2^{\frac{d-1}{2}}-1$ ?
J'ai fait beaucoup de test mais mon ordi n'est pas assez puissant pour aller bien loin...
Si quelqu'un connaît un théorème, une piste (ou même la réponse tant qu'on y est !), je lui serai très reconnaissant de m'éclairer.
Merci d'avance.
Je suis en train d'étudier les "super-nombres de Poulet", c'est-à-dire les entiers naturels non-nuls, composés, dont chaque diviseurs $d$ vérifie : $\quad d \mid 2^d-2.$
On remarque que c'est a priori une condition assez forte et on pourrait conjecturer qu'ils sont assez "rares". On en connaît pourtant pas mal et des pas si grands que ça https://oeis.org/A050217.
On sait que pour $p$ premier, $\ p \mid 2^p-2,\ $ or il existe certains nombres premiers tels que la condition plus forte $$p \mid 2^{\frac{p-1}{2}}-1$$ est vérifiée. Il existe même des nombres composés vérifiant cette dernière propriété.
J'ai déjà vérifié qu'il existe des nombres tels que chacun de leurs diviseurs $d$ vérifient $\ d \mid 2^{\frac{d-1}{2}}-1$ comme par exemple de $2047 = 23\times 89$, on a bien $1 \mid 2^0-1$, $23 \mid 2^{11}-1$, $89 \mid 2^{44}-1$ et $2047 \mid 2^{1023}-1.$
La question que je me pose est la suivante :
existe-t-il des nombres ayant 3 diviseurs premiers distincts et dont chaque diviseur $d$ vérifie $d \mid 2^{\frac{d-1}{2}}-1$ ?
J'ai fait beaucoup de test mais mon ordi n'est pas assez puissant pour aller bien loin...
Si quelqu'un connaît un théorème, une piste (ou même la réponse tant qu'on y est !), je lui serai très reconnaissant de m'éclairer.
Merci d'avance.
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Réponses
PS : d'autres :
Les nombres que tu as donné ont tous 3 diviseurs premiers distincts: ça c'est ok.
Ils vérifient que chaque diviseurs premier $p$ est tel que $p | 2^{\frac{p-1}{2}}-1$: ça c'est ok.
Cependant, les nombres que je recherche doivent vérifier: pour tout diviseur $d$ (pas forcément premier!) $d | 2^{\frac{d-1}{2}}-1$.
Si je prend ton premier exemple, $7\times 23$ est un diviseur de $7\times 23\times 89$, donc on devrait avoir $7\times 23|2^{\frac{7\times 23-1}{2}}-1$, et en particulier $7|2^{80}-1$.
Or, $2^3 \equiv 1 \pmod 7$, donc $2^{3\times 26} \equiv 1 \pmod 7$, donc $2^{80} \equiv 4 \pmod 7$, donc ça ne marche pas...
Je n'ai pas vérifié pour les autres exemples mais j'imagine que c'est pareil (ou pas!) .
Rectification faite, il n'y a aucun triplet dont le plus grand facteur premier est $\le1223$. Je regarde un peu plus loin.
$p_1\mid 2^{p_1}-1$
$p_2\mid 2^{p_2}-1$
$p_3\mid 2^{p_3}-1$
$p_1p_2\mid 2^{p_1p_2}-1$
$p_1p_3\mid 2^{p_1p_3}-1$
$p_2p_3\mid 2^{p_2p_3}-1$
$p_1p_2p_3\mid 2^{p_1p_2p_3}-1$
[$\LaTeX$ fournit la commande $\mid$ (\mid) pour l'opérateur 'divise', qui gère les espacements. AD]
- $151\times601\times1801$
- $601\times1201\times1801$
- $233\times1103\times2089$
- $313\times1249\times3121$
- $673\times2017\times3361$
- $1297\times2593\times3889$
- $1831\times2441\times4271$
- $1553\times3881\times4657$
- $1129\times4513\times5641$
- $479\times1913\times5737$
- $577\times1153\times6337$
- $409\times2857\times6529$
- $937\times6553\times7489$
J'ai juste, cette fois ?Une autre conjecture qui tombe à l'eau...
D’ailleurs, il n'existe pas d'entier $n>1$ tel que $n\mid 2^n-1$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
À propos de supernombres de Poulet particuliers, je partage ci-dessous quelques séquences pouvant contenir un carré d'un nombre premier de Wieferich :