Super-nombres de Poulet particuliers
dans Arithmétique
Bonjour
Je suis en train d'étudier les "super-nombres de Poulet", c'est-à-dire les entiers naturels non-nuls, composés, dont chaque diviseurs $d$ vérifie : $\quad d \mid 2^d-2.$
On remarque que c'est a priori une condition assez forte et on pourrait conjecturer qu'ils sont assez "rares". On en connaît pourtant pas mal et des pas si grands que ça https://oeis.org/A050217.
On sait que pour $p$ premier, $\ p \mid 2^p-2,\ $ or il existe certains nombres premiers tels que la condition plus forte $$p \mid 2^{\frac{p-1}{2}}-1$$ est vérifiée. Il existe même des nombres composés vérifiant cette dernière propriété.
J'ai déjà vérifié qu'il existe des nombres tels que chacun de leurs diviseurs $d$ vérifient $\ d \mid 2^{\frac{d-1}{2}}-1$ comme par exemple de $2047 = 23\times 89$, on a bien $1 \mid 2^0-1$, $23 \mid 2^{11}-1$, $89 \mid 2^{44}-1$ et $2047 \mid 2^{1023}-1.$
La question que je me pose est la suivante :
existe-t-il des nombres ayant 3 diviseurs premiers distincts et dont chaque diviseur $d$ vérifie $d \mid 2^{\frac{d-1}{2}}-1$ ?
J'ai fait beaucoup de test mais mon ordi n'est pas assez puissant pour aller bien loin...
Si quelqu'un connaît un théorème, une piste (ou même la réponse tant qu'on y est !), je lui serai très reconnaissant de m'éclairer.
Merci d'avance.
Je suis en train d'étudier les "super-nombres de Poulet", c'est-à-dire les entiers naturels non-nuls, composés, dont chaque diviseurs $d$ vérifie : $\quad d \mid 2^d-2.$
On remarque que c'est a priori une condition assez forte et on pourrait conjecturer qu'ils sont assez "rares". On en connaît pourtant pas mal et des pas si grands que ça https://oeis.org/A050217.
On sait que pour $p$ premier, $\ p \mid 2^p-2,\ $ or il existe certains nombres premiers tels que la condition plus forte $$p \mid 2^{\frac{p-1}{2}}-1$$ est vérifiée. Il existe même des nombres composés vérifiant cette dernière propriété.
J'ai déjà vérifié qu'il existe des nombres tels que chacun de leurs diviseurs $d$ vérifient $\ d \mid 2^{\frac{d-1}{2}}-1$ comme par exemple de $2047 = 23\times 89$, on a bien $1 \mid 2^0-1$, $23 \mid 2^{11}-1$, $89 \mid 2^{44}-1$ et $2047 \mid 2^{1023}-1.$
La question que je me pose est la suivante :
existe-t-il des nombres ayant 3 diviseurs premiers distincts et dont chaque diviseur $d$ vérifie $d \mid 2^{\frac{d-1}{2}}-1$ ?
J'ai fait beaucoup de test mais mon ordi n'est pas assez puissant pour aller bien loin...
Si quelqu'un connaît un théorème, une piste (ou même la réponse tant qu'on y est !), je lui serai très reconnaissant de m'éclairer.
Merci d'avance.
Réponses
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J'ai oublié de mettre le lien wikipédia sur les super-nombres de Poulet : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_et_supernombre_de_Poulet
-
Si j'ai bien compris la question et que je ne me suis pas trompé en programmant, $7\times23\times89$, $7\times31\times151$ et $7\times127\times337$ fonctionnent.
PS : d'autres :- $7\times23\times89$
- $7\times31\times151$
- $7\times127\times337$
- $7\times151\times601$
- $23\times151\times601$
- $31\times151\times601$
- $89\times151\times601$
- $7\times257\times641$
- $17\times257\times641$
- $23\times257\times641$
- $73\times257\times641$
- $79\times257\times641$
- $89\times257\times641$
- $97\times257\times641$
- $193\times257\times641$
- $199\times257\times641$
- $241\times257\times641$
- $7\times97\times673$
- $17\times97\times673$
- $31\times97\times673$
- $41\times97\times673$
- $7\times137\times953$
- $17\times137\times953$
- $31\times137\times953$
- $41\times137\times953$
- $97\times137\times953$
- $103\times137\times953$
- $7\times233\times1103$
- $127\times233\times1103$
- $7\times577\times1153$
- $17\times577\times1153$
- $23\times577\times1153$
- $31\times577\times1153$
- $41\times577\times1153$
- $71\times577\times1153$
- $73\times577\times1153$
- $89\times577\times1153$
- $97\times577\times1153$
- $113\times577\times1153$
- $127\times577\times1153$
- $151\times577\times1153$
- $193\times577\times1153$
- $199\times577\times1153$
- $241\times577\times1153$
- $257\times577\times1153$
- $271\times577\times1153$
- $281\times577\times1153$
- $337\times577\times1153$
- $353\times577\times1153$
- $433\times577\times1153$
- $449\times577\times1153$
- $463\times577\times1153$
- $7\times601\times1201$
- $31\times601\times1201$
- $41\times601\times1201$
- $73\times601\times1201$
- $151\times601\times1201$
-
Tout d'abord, merci pour ta réponse Math Coss.
Les nombres que tu as donné ont tous 3 diviseurs premiers distincts: ça c'est ok.
Ils vérifient que chaque diviseurs premier $p$ est tel que $p | 2^{\frac{p-1}{2}}-1$: ça c'est ok.
Cependant, les nombres que je recherche doivent vérifier: pour tout diviseur $d$ (pas forcément premier!) $d | 2^{\frac{d-1}{2}}-1$.
Si je prend ton premier exemple, $7\times 23$ est un diviseur de $7\times 23\times 89$, donc on devrait avoir $7\times 23|2^{\frac{7\times 23-1}{2}}-1$, et en particulier $7|2^{80}-1$.
Or, $2^3 \equiv 1 \pmod 7$, donc $2^{3\times 26} \equiv 1 \pmod 7$, donc $2^{80} \equiv 4 \pmod 7$, donc ça ne marche pas...
Je n'ai pas vérifié pour les autres exemples mais j'imagine que c'est pareil (ou pas!) . -
En effet, désolé, les méfaits du copier-coller et de la non-relecture.
Rectification faite, il n'y a aucun triplet dont le plus grand facteur premier est $\le1223$. Je regarde un peu plus loin. -
De façon plus explicite, si on note $n=p_1p_2p_3$ où $p_1,p_2$ et $p_3$ sont premiers et distincts, il faut qu'on ait :
$p_1\mid 2^{p_1}-1$
$p_2\mid 2^{p_2}-1$
$p_3\mid 2^{p_3}-1$
$p_1p_2\mid 2^{p_1p_2}-1$
$p_1p_3\mid 2^{p_1p_3}-1$
$p_2p_3\mid 2^{p_2p_3}-1$
$p_1p_2p_3\mid 2^{p_1p_2p_3}-1$
[$\LaTeX$ fournit la commande $\mid$ (\mid) pour l'opérateur 'divise', qui gère les espacements. AD] -
Ok merci Math Coss!
-
Same player, shoot again!
- $151\times601\times1801$
- $601\times1201\times1801$
- $233\times1103\times2089$
- $313\times1249\times3121$
- $673\times2017\times3361$
- $1297\times2593\times3889$
- $1831\times2441\times4271$
- $1553\times3881\times4657$
- $1129\times4513\times5641$
- $479\times1913\times5737$
- $577\times1153\times6337$
- $409\times2857\times6529$
- $937\times6553\times7489$
-
Yes! le premier est bon (selon Wolfram Alpha), merci de ton aide.
Une autre conjecture qui tombe à l'eau... -
C'est plutôt $p_1\mid 2^{\frac {p_1-1}2}-1$, etc., non ?
D’ailleurs, il n'existe pas d'entier $n>1$ tel que $n\mid 2^n-1$.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Ah oui Chaurien, au temps pour moi, il faut rajouter un "-1" dans chaque puissance de deux, merci.
-
Bonjour
À propos de supernombres de Poulet particuliers, je partage ci-dessous quelques séquences pouvant contenir un carré d'un nombre premier de Wieferich :- $1093^{2}$, $4733$, $112\hspace{3pt}901153$, $23140\hspace{3pt}471537$, $4929\hspace{3pt}763073\hspace{3pt}019247\hspace{3pt}417933\hspace{3pt}318805\hspace{3pt}085713$ ;
- $1093^{2}$, $21841$, $503413$, $1\hspace{3pt}948129$, $23140\hspace{3pt}471537$ ;
- $1093^{2}$, $21841$, $26209$, $279553$, $1\hspace{3pt}948129$, $15\hspace{3pt}790321$, $23140\hspace{3pt}471537$, $84159\hspace{3pt}375948\hspace{3pt}762099\hspace{3pt}254554\hspace{3pt}456081$ ;
- $3511^{2}$, $1\hspace{3pt}969111$;
- ...
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Bonjour!
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