Somme des diviseurs puissance s
dans Arithmétique
Bonjour à tous, je ne parviens pas à démontrer que :
Si la décomposition en facteurs premiers de n est n = p1a1···pkak pour des entiers positifs ai et des nombres premiers pi (pour i allant des entiers 1 à k), alors la somme des diviseurs positifs de n élevés à la puissance entière s est ... [cf pièce jointe]
Je n'ai pas d'autre piste que par récurrence... je ne m'en sors pas. Des idées ? (Je suis en terminale)
Merci d'avance !
Amicalement.
Si la décomposition en facteurs premiers de n est n = p1a1···pkak pour des entiers positifs ai et des nombres premiers pi (pour i allant des entiers 1 à k), alors la somme des diviseurs positifs de n élevés à la puissance entière s est ... [cf pièce jointe]
Je n'ai pas d'autre piste que par récurrence... je ne m'en sors pas. Des idées ? (Je suis en terminale)
Merci d'avance !
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Réponses
$$\sigma_s\left( p^\alpha \right) = 1 + p^s+ p^{2s} + \dotsb + p^{s \alpha} = \frac{p^{s (\alpha+1)}-1}{p^s-1}$$
et donc, si $n = p_1^{\alpha_1} \dotsb p_k^{\alpha_k}$, comme $\sigma_s$ est multiplicative, il vient
$$\sigma_s(n) = \sigma \left( p_1^{\alpha_1} \right) \times \dotsb \times \sigma \left( p_k^{\alpha_k} \right) = \frac{p_1^{s (\alpha_1+1)}-1}{p_1^s-1} \times \dotsb \times \frac{p_k^{s (\alpha_k+1)}-1}{p_k^s-1}.$$
C'est effectivement la base de la théorie multiplicative.
Rappels.
Déf. Une fonction arithmétique $f : \mathbb{Z}_{\geqslant 1} \to \mathbb{C}$ est dite multiplicative si $f(mn) = f(m) f(n)$ pour tous entiers $m,n \geqslant 1$ premiers entre eux. On nomme $f$ complètement multiplicative si la condition $f(mn) = f(m) f(n)$ est vraie pour tous entiers $m,n \geqslant 1$ sans restriction.
Le produit de convolution de Dirichlet de deux fonctions arithmétiques $f,g$ est donné par
$$(f \star g)(n) = \sum_{d \mid n} f(d) g(n/d).$$
L'ensemble $\left( \mathcal{A},+,\star \right)$ des fonctions arithmétiques est un anneau intègre commutatif unitaire, les inversibles étant les fonctions arithmétiques vérifiant $f(1) \neq 0$. À propos, pour ceux que ça amuse, il existe une formule explicite de l'inverse (de Dirichlet) d'une fonction arithmétique inversible, i.e.
$$f^{-1}(n) = \sum_{k=1}^{\Omega(n)} \frac{(-1)^k}{f(1)^{k+1}} \ \sum_{\substack{d_1 \dotsb d_k = n \\ d_1,\dotsc,d_k \geqslant 2}} f (d_1) \dotsb f(d_k)$$
valide pour tout $n \geqslant 2$, et où $\Omega(n)$ est le nombre total de facteurs premiers de $n$, comptés donc avec leurs multiplicités.
Le résultat de base de la théorie, que j'ai utilisé plus haut, est le suivant.
Th. Si $f$ et $g$ sont multiplicatives, alors $f \star g$ l'est aussi.
La plupart des fonctions multiplicatives connues peuvent s'écrire sous la forme d'un produit $f \star g$ de fonctions multiplicatives plus simples, c'est donc la méthode la plus employée pour montrer les identités cherchées.
J'ai mis "rappels" car ce sont des choses que j'avais déjà dites ici, et je ne voudrais pas que certains pensent que je radote. :-)
1) Identifier les paramètres de ta proposition. À ne pas confondre avec ta variable de propositions
2) s'assurer qu'il y a un lien direct entre vos paramètres et la variable. Le mieux serait que les paramètres puissent s'exprimer en fonction de la variable de propositions
Si on applique cela au problème que tu as posé ici. Tu as une variable de proposition n et des paramètres k, alpha i, et p i et ces paramètres ne sont directement lié à n. J'espère que tu comprends le sens du mot lier ici.
Donc compte tenu de ces observations la récurrence ne serait pas très appropriée.
J'ai démontré par récurrence la formule donnant le nombre de diviseurs positifs de n, qui n'est autre que $\sigma$s(n) avec s = 0.
Rapidement: Une récurrence sur k, en notant d(n) le nombre de diviseurs positifs de n : si n a k diviseurs premiers alors d(n) = (a1+1)(a2+1)...(ak+1)
si n a k+1 diviseurs premiers alors n = n'pak+1, tout diviseur de n est le produit d'un diviseur de n' et d'un diviseur de pak+1 (Gauss), d'où le nombre de diviseurs de n' est égal au nombre de diviseurs de n(ak+1+1) car les diviseurs de ak+1 sont 1, a1, a2... il y en a (ak+1+1).
Etant donnée que je fais varier uniquement la puissance s de la fonction sigma (qui vaut zéro si je calcul le nombre de diviseurs positifs de n et s dans le cas présent), je me suis donc dit que je pouvais raisonner de la même manière... Est-ce une faute ou c'est simplement pas adapté pour la démonstration de $\sigma$s(n)?
PS: Lorsque j'utilise des lettres grecques comme "sigma" ou "alpha", on m'affiche une erreur lors de l'envoi...
Cordialement.