Triplets pythagoriciens

tbailly225
tbailly225
dans Arithmétique
Je reviens peut-être sur quelque chose de "banal" pour plusieurs d'entre vous ici ; mais il vaut mieux que je demande.
Quelqu'un a-t-il jamais trouvé l'expression générale des triplets de Pythagore ? Une formule générale qui paramétrerait toutes les solutions de x^2 + y^2 = z^2 dans N* ?
Merci pour votre patience avec moi. Je suis nouveau ici.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Essaie de trouver. Si $x,y,z$ est solution, alors $ d x, d y, d z$ est solution pour tout $d$ non nul. Que peux-tu en déduire ? Quelles sont les parités de $x,y,z$ ? Si $x,y,z$ est solution $y,x,z$ est solution. Quels sont les cas à étudier ?
    $x^2=z^2-y^2$... à continuer.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    La forme générale est connue depuis un moment : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/TripProp.htm
    Et tu as même une fabrication matricielle des triplets pythagoriciens primitifs : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/TripMatr.htm
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • soland
    soland
    Prendre un entier de Gauss et l'élever au carré, p.ex $(5+2i)^2=21+20i$
    Ensuite $21^2+20^2=29^2$
  • tbailly225
    tbailly225
    Merci pour votre réponse. Je vois que la formule de Villemin trouve les triplets primitifs je crois. J'ai une autre méthode qui paramètre tous les triplets, qu'ils soient primitifs ou non. Mon problème c'est que d'une part, je ne sais pas comment on publie ce genre de chose; et d'autre part, je ne voudrais pas publier quelque chose qui est déjà connu. Alors je serais très reconnaissant si quelqu'un pouvait partager la procédure à suivre.
  • soland
    soland
    Les triplets pythagoriciens et leur contexte sont très
    mais alors très largement connus.
  • Chaurien
    Chaurien
    ...et depuis vingt-trois siècles environ.
    Je suggère à tbailly225 de faire une petite recherche sur Internet pour qu'il se rende compte combien Soland a raison.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Tbailly225 a écrit:
    Mon problème c'est que d'une part, je ne sais pas comment on publie ce genre de chose; et d'autre part, je ne voudrais pas publier quelque chose qui est déjà connu

    Tu fais comme Gérard Villemin: tu ouvres un site web et tu y mets tes formules, même si elles sont déjà connues.
  • J.Faizant
    J.Faizant
    Un petit nouveau.

    Si a,b,c sont trois naturels tels que a2+b2=c2 avec a=k(u2-v2)/2,
    b=kuv, c=k(u2+v2)/2, u et v naturels impairs premiers entre eux, k naturel quelconque non nul,
    alors, pour tout entier x, on a:

    1° 4x4+ (2ax+bc)2 = [2x2-2bx +(a+c)c][2x2+ 2bx +(c-a)c]

    2° 4x4+ (2bx + ac)2 = [2x2-2ax + (b+c)c][2x2+2ax + (c-b)c]

    Si u = v = 1 alors a=0, b=k=c, on a trivialement 02+ k2 = k2 et alors l'identité 1°

    devient : 4x4+ k4 = (2x2-2kx + k2)(2x2+2kx +k2)

    qui est l'identité de Sophie Germain.
  • tbailly225
    tbailly225
    Merci pour cette réponse. Mais j'ai toujours pensé que la perpétuelle mise en question du savoir était le fondement de la vraie démarche scientifique. Pour exemple, bien que le mésentère soit connu depuis le XVème siècle, c'est seulement en 2017 qu'on a découvert que c'était un organe à part entière. Pourtant on a toujours pensé qu'on savait tout ce qu'il y a à savoir sur le corps humain. C'est pourquoi j'aime m'interesser à ce qui est évident. Après tout dans l'histoire des sciences il a bien été démontré que l'homme ne pouvait se déplacer à une vitesse supérieure à 60 kilomètres à l'heure sinon, il exploserait; jusqu'à ce que le train se déplaçant à 70 km/h soit inventé. Merci quand même.
  • J.Faizant
    J.Faizant
    Bonsoir

    1° Vous aurez remarqué que les formules bien connues que j'ai utilisées pour résoudre l'équation de Pythagore, problème que m'a posé mon prof de maths lorsque j'étais en classe de mathématiques élémentaires en 1962, sont un peu différentes de celles qui sont utilisées couramment qui semblent plus simples, alors qu'elles ne fournissent pas systématiquement des solutions premières entre elles à moins de supposer u et v de parités différentes.
    Par ailleurs je trouve très bien, contrairement à mon ancien prof de math sup, que l'on perde son temps sur des évidences.

    2° Vous semblez ne pas connaître le sens de l'expression "sciences exactes" qui se réduit en réalité aux mathématiques, puisque les formules de la gravité de Newton et Képler ne sont restées exactes que dans leur partie mathématique, et se sont révélées fausses ou approximatives dans leur partie purement physique. Alors ne parlons pas de la biologie qui est encore moins une science exacte ! Quant à la médecine on a pu voir récemment que loin d'être une science exacte, c'était une science contradictoire, c'est-à-dire à la fois vraie et fausse ! Stupéfiant.

    Respects du soir.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    tbailly225 a écrit:
    Après tout dans l'histoire des sciences il a bien été démontré que l'homme ne pouvait se déplacer à une vitesse supérieure à 60 kilomètres à l'heure sinon, il exploserait; jusqu'à ce que le train se déplaçant à 70 km/h soit inventé.

    J’aimerais bien savoir qui a démontré ça.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Dans le même registre, l’académie de médecine de Lyon (et ce n’étaient pas des rigolos) avait écrit que l’homme ne devait pas voyager en train au delà de 50 km/h car la rapidité de défilement des images brûlerait la rétine. Que les femmes enceintes allaient perdre leur enfant. Tout ceci avec le plus grand sérieux.
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