Recouvrement de l'ensemble entiers naturels
dans Arithmétique
Bjr Bonjour svp je travaille dans l'ensemble des entiers naturels et je bloque sur le problème suivant.
1) Soit une infinité de sous-ensembles de N.
2) Chacun de ces sous-ensemble est infini.
3) Cette famille est deux à deux disjointe.
La question que je me pose c'est celle de savoir s'il est possible de trouver une telle famille qui ne soit pas un recouvrement de N.
J'ai essayé de construire une telle famille en vain.
Je souhaite utiliser ces trois conditions pour définir un recouvrement infini de N.
1) Soit une infinité de sous-ensembles de N.
2) Chacun de ces sous-ensemble est infini.
3) Cette famille est deux à deux disjointe.
La question que je me pose c'est celle de savoir s'il est possible de trouver une telle famille qui ne soit pas un recouvrement de N.
J'ai essayé de construire une telle famille en vain.
Je souhaite utiliser ces trois conditions pour définir un recouvrement infini de N.
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Réponses
La réponse est oui.
Un exemple simple est construit avec
* les multiples de 2
* les multiples de 3 qui ne sont pas multiples de 2
* les multiples de 5 qui ne sont pas multiples de 2 et 3
* les multiples de 7 qui ne sont pas multiples de 2, 3 et 5
* etc.
Cordialement.
* les multiples de 2
* les multiples de 5 qui ne sont pas multiples de 2 et 3
* les multiples de 7 qui ne sont pas multiples de 2, 3 et 5
* etc.
1) tous tes ensembles contiennent 0.
2) Si on supprime le zéro de tous les ensembles excepté dans un seul là on obtient des ensembles disjoints.
Tout ce qui manque pour avoir un recouvrement c'est le nombre 1 qui n'appartient à aucun ensemble.
Donc si on ajoute ce 1 à l'un de ces ensemble on obtient bien un recouvrement.
Je ne considère pas de telles familles car il suffirait juste de mettre ces nombres dans quelques ensembles pour avoir un recouvrement.
Un contre-exemple valable serait une famille infinie d'ensembles infinis deux à deux disjoints qui a une infinité d'éléments qui n'appartiennent à aucun de ces ensembles.
Pose $B_i=\{2x,\ x\in A_i\}$ pour $i\in\N$. Alors les $B_i$ sont deux à deux disjoints et leur réunion est l'ensemble des entiers pairs.
j'ai effectivement oublié des mots dans mon exemple : "les multiples non nuls de .."; alors qu'au départ je l'avais en tête. Mais mon deuxième exemple, paru 2 h avant ton message répondait d'avance à tes exigences supplémentaires.
Et ta remarque "il suffirait juste de mettre ces nombres dans quelques ensembles pour avoir un recouvrement. " n'a pas de sens, puisqu'elle peut s'appliquer dans tous les cas lorsqu'il manque une infinité de nombres, mais pas quand il ne manque que 1 : {1} n'est pas une partie infinie de $\mathbb N$ comme le demandait ta condition 2. Donc mon premier exemple avec rajout de "non nuls" est un très bon contre exemple.
Enfin, comme on peut toujours modifier un contre-exemple pour l'annuler, dire "on pourrait modifier" est vraiment peu sérieux.
On numérote chaque sous ensemble. On remplit chaque sous ensemble dans l'ordre de leur numéro.
On attribue à chaque sous ensemble, dans l'ordre de N, le premier nombre puis 1 nombre sur 2, parmi ceux qui ne sont pas déjà attribués aux ensembles précédents.