Idéal conducteur de $\Bbb{Q}(\zeta_m)$

C'est encore un exercice sur lequel le pov' p'tit matheux qui essaye de faire des corps de classe tout seul, sèche.

Il s'agit de déterminer l'idéal conducteur de $\Bbb{Q}(\zeta_m)$.

Je sais que l'application d'Artin $\Phi_m: I_{\Bbb Q }(m\infty)\longrightarrow Gal(\Bbb{Q}(\zeta_m)/\Bbb{Q})$ a pour noyau $P_{\Bbb{Q},1}(m\infty)$ que j'abrégerai en $P_m$

Donc $m\infty$ est divisible par l'idéal conducteur qui est donc de la forme $d\infty$ avec $d\mid n$

Il faut maintenant en déduire $\Bbb{Q}(\zeta_m)\subset \Bbb{Q}(\zeta_d)$ à l'aide du résultat qui dit que des corps sont emboîtés si les noyaux d'Artin le sont (dans l'autre sens).

J'ai $I_{\Bbb{Q}}(m\infty)\subset I_{\Bbb{Q}}(d\infty)$, puisque les idéaux fractionnaires premiers à $m$ sont premiers à $d$.

Je prends donc $m\infty$ comme module divisible par les premiers qui ramifient dans les 2 corps.

$\ker(\Phi_m)=P_m=$ idéaux de $\Bbb Z$ engendrés par les $\alpha =1 \mod(m)$

Ensuite je prends la restriction de $\Phi_n$ à $I(m\infty)$ dont le noyau est normalement $\ker(\Phi_n)\cap I(m\infty)$
ce sont donc des principaux $\alpha\Bbb Z$ avec $\alpha\wedge m=1$ et $\alpha=1 \mod(n)$

Or je ne vois pas pourquoi ces objets seraient de la forme $\beta\Bbb Z$ avec $\beta=1\mod(m)$

Quelqu'un peut-il me donner une p'tite info.
Merci.