Démonstration difficile
dans Arithmétique
Bonsoir à toutes et à tous,
Voici ma question :
Pour tout entier pair $a$ supérieur à $2$, $n=a^2+a+1$.
Je m'efforce de démontrer que, pour tout $a$, $n^2+1$ divise $n!$. Alors :
1) Je commence par démontrer que tous les facteurs premiers de $n^2+1$ sont inférieurs à $n$, comme ceci :
$n^2+1$
$=(a^2+a+1)^2+1$
$=(a^2+1)\times (a^2+2a+2)$
et comme $a$ est pair
$(a^2+1)\times 2 \times (\frac{a^2}{2}+a+1)$
où l'on voit que les trois facteurs pas forcément premiers de $n^2+1$ sont déjà inférieurs à $n$. Raison de plus si $(a^2+1)$ et $(\frac{a^2}{2}+a+1)$ se décomposent en facteurs premiers encore plus petits.
2) ensuite, je pense qu'il est nécessaire de démontrer aussi qu'aucun facteur premier de $n^2+1$ n'est élevé à une puissance plus grande que la puissance à laquelle est élevé le facteur correspondant de $n!$.
Mais je n'y arrive pas
Quelqu'un aurait-il une idée ?
Merci d'avance.
Voici ma question :
Pour tout entier pair $a$ supérieur à $2$, $n=a^2+a+1$.
Je m'efforce de démontrer que, pour tout $a$, $n^2+1$ divise $n!$. Alors :
1) Je commence par démontrer que tous les facteurs premiers de $n^2+1$ sont inférieurs à $n$, comme ceci :
$n^2+1$
$=(a^2+a+1)^2+1$
$=(a^2+1)\times (a^2+2a+2)$
et comme $a$ est pair
$(a^2+1)\times 2 \times (\frac{a^2}{2}+a+1)$
où l'on voit que les trois facteurs pas forcément premiers de $n^2+1$ sont déjà inférieurs à $n$. Raison de plus si $(a^2+1)$ et $(\frac{a^2}{2}+a+1)$ se décomposent en facteurs premiers encore plus petits.
2) ensuite, je pense qu'il est nécessaire de démontrer aussi qu'aucun facteur premier de $n^2+1$ n'est élevé à une puissance plus grande que la puissance à laquelle est élevé le facteur correspondant de $n!$.
Mais je n'y arrive pas
Quelqu'un aurait-il une idée ?
Merci d'avance.
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Réponses
Il te suffit de montrer que tes trois facteurs sont distincts.
Cordialement.
C'est ça, en fait, ma question.
Distincts, cela signifie premiers entre eux ?
Pour $a=2$, $n=7$ et $n^2+1=2.5^2$ ne divise pas $7!$
C'est pourquoi j'ai précisé : $a$ entier pair supérieur à $2$.
Bon, je deviens plus explicite : quand un nombre est pair et que la relation est fausse pour un nombre impair, il est important d'utiliser la parité. On écrit donc $a=2x$ avec $x$ un entier non nul.
On calcule $n = a^2+a+1 = P(x)$ avec $P$ un polynôme que l'on factorise (d'abord sur les complexes puis sur les réels).
On trouve $P(x) = 2 Q(x) R(x).$ On montre que $2, Q(x), R(x)$ sont deux à deux distincts et tous plus petits que $n.$
On conclut.
peux-tu démontrer que 1254! est divisible par 360 = 2*12*15 ?
Cordialement.
NB : Il aurait mieux valu dire "a supérieur à 3", car en maths, 2 est supérieur à 2.
Je démontre que $1254!$ est divisible par $360$ parce que $360=2^3\times 3^2\times 5$ et que $2^3=8$, $3^2=9$ ainsi que $5$ appartiennent bien à l'ensemble des facteurs $1\times 2\times \cdots \times\textbf{5}\times \cdots \times \textbf{8}\times \textbf{9}\times \cdots \times 1254$ de $1254!$.
Cela dit, je ne sais pas ce que signifie "factoriser $P$ d'abord sur les complexes puis sur les réels". :-(
NB (1) : Historiquement, depuis quand les mathématiciens écrivent-ils avec le plus grand des sérieux que $2$ est supérieur à $2$ ? (Ce serait une invention des bourbakistes que cela ne m'étonnerait pas.)
NB (2) : J'aimerais savoir pourquoi mes messages sont remplis de petites barres verticales désagréables ?
je t'avais proposé une décomposition de 360 qui convient parfaitement, tu as fait autre chose, avec le même argument ! Tant pis pour toi, inutile qu'on essaie de t'aider ...
Il a fait tout.
Soit ! Cesse de m'aider à comprendre, si tu veux.
Cela dit, pourrais-tu quand même juste me dire si ce que j'écris ci-dessous est exact ? :
"Si $n=(2m)^2+2m+1$ ($m$, entier strictement supérieur à $1$),
alors aucun facteur premier de $n^2+1$ n'est élevé à une puissance plus grande que la puissance à laquelle est élevé le facteur premier correspondant de $n!$."
Merci d'avance.
@ raoul.S :
Grand merci pour le renseignement. Cela marche !
Face aux non matheux, il y a tant de matheux qui sont coutumiers de ton genre de réaction !
Désolant.
Inutile de passer la main, je saurai me débrouiller toute seule.
Je pense même avoir déjà trouvé, mais certainement pas grâce à ton exemple qui est aussi ridicule que mauvais puisque $360$ y est inférieur à $1254$.
Effectivement $360$ est inférieur à $1254$ donc il est évident qu'il divise $1254!$. Mais ce qu'il voulait te montrer est qu'il est évident que $2\times 12\times 15$ divise $1254!$ pour la même raison : car $2$ est plus petit que $1254$, $12$ est plus petit que $1254$ et $15$ aussi donc $2\times 12\times 15$ divise $1254!$ (car $1254!=1\cdot 2 \cdots 12\cdots15\cdots 1254$).
Et donc il faut appliquer la même idée à ton problème sans se compliquer la vie avec les nombres premiers.
Concrètement tu as écrit que $n^2+1=(a^2+1)\times 2 \times (\frac{a^2}{2}+a+1)$ et constaté que ces trois facteurs sont inférieurs à $n$ donc pour terminer il ne te reste plus qu'à montrer que ces trois facteurs sont distincts deux à deux ce qui prouvera que $n^2+1$ divise $n!$.
J'avais fini par comprendre mon erreur.
Un tout grand merci à toi quand même !
Cela fait longtemps que nous n'avions pas échangé (ou essayé de). La dernière fois, je crois que nous avions parlé de somme ``primitive'' de deux carrés, ``The Euclidean Algorithm Strikes Again'', ...etc... Vrai, faux ? Sans aller trop loin pour je ne sais plus quelle raison.
As tu vu que sur le forum, le ton pourrait monter très vite ?
Quelques remarques concernant ``supérieur'' sur les entiers. Il est vrai que ``2 supérieur à 2'', cela peut paraitre bizarre (j'aime moyen) mais c'est conforme à ... Bourbaki, en plein dans le mille, cf plus bas. Mais à mon avis, si je peux me permettre, pas du jugement hâtif concernant Bourbaki.
Pour éviter ce type de désagrément, on peut toujours apporter des précisions du genre ``supérieur strictement à'' ou ``supérieur ou égal à''.
Voilà ce qu'en dit Bourbaki, Théorie des ensembles, III, $\S1$, 3 page 4, en présence d'une relation d'ordre $\le$ (en fait d'une relation de pré-ordre). Immense avantage chez cet auteur : les règles du jeu sont claires.
.... $x \le y$, on considère que $y \ge x$ est synonyme de $x \le y$ et ces relations se lisent << $x$ est inférieur à $y$>>, ou <<$x$ est plus petit que $y$>>, ou <<$y$ est supérieur à $x$>>, ou <<$y$ est plus grand que $x$>>. Ou parfois <<$x$ est au plus égal à $y$>>, ou <<$y$ est au moins égal à $x$>>.
Je n'aime pas trop les deux dernières car cela me prend la tête ce ``au plus égal'' et ce ``au moins égal'' (je préfère $x$ est inférieur ou égal à $y$).
Voilà, voilà.
C'est tout ce que j'ai à dire ? Euh, oui. Enfin, presque : bon courage sur ce noble forum, parfois on s'amuse bien (mais pas toujours).
Un grand merci à toi d'intervenir dans ce fil pour répondre, comme toujours de façon très instructive, à l'une des questions que j'y ai posées.
J'espère que tu ne m'en veux pas d'avoir un peu égratigné Bourbaki. Je n'ai pas pu m'en empêcher. :-)
Merci aussi de me faire comprendre, me semble-t-il, qu'il ne te déplairait pas d'encore m'enseigner l'une ou l'autre chose en mathématiques, à moi qui suis loin de briller en la matière. C'est très gentil de ta part et je m'en souviendrai.
Ce qui nous a toujours séparés l'un de l'autre me semble être à la fois la barrière du langage mathématique et la barrière de la langue française. Je fais tout pour m'améliorer des deux côtés.
Quant à la réaction de gérard0 face à mon aveuglement, elle m'est familière : bien involontairement, j'ai fait craquer nerveusement tous mes professeurs de mathématiques. Mais, en l'occurrence, je m'en veux d'avoir perdu moi-même mon sang-froid.
Encore une fois, mille mercis à toi et peut-être à bientôt !