Somme des puissances des nombres premiers

epsilon0 · June 2020

Bonjour
Peut-on généraliser ce résultat (voir photo ) aux sommes de puissances de nombres premiers prient entre $x-y$ et $x$ : $$
\sum_{x-y\leq p\leq x}p^{s} , \qquad s\geq 1.
$$ Merci. 104704

noix de totos · June 2020

Pas simple...

La 1ère idée est de faire une sommation partielle, ce qui donne (je passe les détails) :
$$\sum_{x-y < p \leqslant x} p^s = x^s \left\lbrace \pi(x) - \pi(x-y) \right\rbrace - s \int_{x-y}^x \left \{ \pi(t) - \pi(x-y) \right\} \textrm{d}t + O \left( y^2 x^{s-2} \pi(x) \right).$$
Pour le 1er terme, on utilise la formule asymptotique d'Heath-Brown que tu as rappelée. Le grand "O" n'excède pas $\ll y^2 x^{s-1}(\log x)^{-1}$ ce qui est acceptable puisque $y \leqslant x$.

Reste l'intégrale, qui est le plus gros problème ici. L'idée est d'utiliser Heath-Brown, mais il faut pour cela que $t - (x-y) \geqslant t^{7/12}$. Il faut donc découper l'intégrale en deux à $t_0$, solution de l'équation $t -(x-y) = t^{7/12}$ (on devrait avoir $t_0 = x-y + O\left( x^{5/12} \right)$ mais c'est à vérifier). La méthode me semble, sinon infaisable, du moins très compliquée.

La seconde idée est d'utiliser la méthode de Selberg-Delange, mais il faut pour cela bien connaître la série de Dirichlet de la fonction arithmétique $n \mapsto n^s \Lambda(n)$.

Sinon, on est moins ambitieux et on se contente d'une majoration :
$$\sum_{x-y < p \leqslant x} p^s \leqslant x^s \left\lbrace \pi(x) - \pi(x-y) \right\rbrace \ll \frac{y x^s}{\log x}$$
dès que $x^{7/12} \leqslant y \leqslant x$.

epsilon0 · June 2020

Merci noix de totos pour votre aide, alors j'ai fait un essai mais ce que je trouve est sûrement faux (ou étonnant !).

Si $y=y(x)\ll x$ :
\begin{eqnarray*}
\sum_{x-y\leq n\leq x}\Lambda (n).n^{s} &=&-\sum_{x-y\leq n\leq
x}\sum_{d\mid n}\mu (d)\ln d.n^{s} \\
&=&-\sum_{d\leq x}\mu (d)d^{s}\ln d\sum_{\frac{x-y}{d}\leq k\leq \frac{x}{d}
}k^{s}

\end{eqnarray*} Par la formule d'Euler-Maclaurin on a $\sum\limits_{x-y\leq k\leq
x}k^{s}=yx^{s}+O(y^{2}x^{s-1})$ donc :
\begin{eqnarray*}
\sum_{x-y\leq n\leq x}\Lambda (n).n^{s} &=&-\sum_{d\leq x}\mu (d)d^{s}\ln
d\left( \dfrac{yx^{s}}{d^{s+1}}+O(\dfrac{y^{2}x^{s-1}}{d^{s+1}})\right) \\
&=&-yx^{s}\sum_{d\leq x}\mu (d)\dfrac{\ln d}{d}+O(y^{2}x^{s-1}\ln ^{2}x)

\end{eqnarray*} Comme $\ \sum\limits_{d\leq x}\mu (d)\dfrac{\ln d}{d}=-1+O(\exp (-\ln
^{1/(2+\varepsilon )}x))$ on obtient \[
\sum_{x-y\leq n\leq x}\Lambda (n).n^{s}=yx^{s}+O\left( \dfrac{yx^{s}}{\ln x}
\right)
\] De plus \[

\sum\limits_{x-y\leq n\leq x}\Lambda (n).n^{s}=\sum\limits_{x-y\leq p\leq
x}\ln p.p^{s}+\sum\limits_{2\leq k\leq \frac{\ln x}{\ln 2}%
}\sum\limits_{x-y\leq p^{k}\leq x}\ln p.p^{ks}

\] $\sum\limits_{2\leq k\leq \frac{\ln x}{\ln 2}}\sum\limits_{x-y\leq
p^{k}\leq x}\ln p.p^{ks}\leq x^{s}\dfrac{\ln ^{2}x}{\ln 2}(\sqrt{x}-\sqrt{x-y
})$ $\sim $ $yx^{s-1/2}\dfrac{\ln ^{2}x}{\ln 2}$.
Finalement \[

\sum\limits_{x-y\leq p\leq x}\ln p.p^{s}=yx^{s}+O\left( \dfrac{yx^{s}}{\ln x
}\right)
\]

noix de totos · June 2020

Je dirais qu'il manque un terme : quand tu appliques Euler-Mclaurin, on a
$$\sum_{ \tfrac{x-y}{d} < k \leqslant \tfrac{x}{d}} k^s = \frac{yx^s}{d^{s+1}} + O \left( \frac{y^2 x^{s-1}}{d^{s+1}} \right) + O \left( \left( \frac{x}{d} \right)^s \right).$$
De plus, lorsque $d > 2y$, ta somme intérieure de la seconde ligne contient au plus un entier : il faut donc découper la somme en $d$ à
$$\sum_{d \leqslant x} = \sum_{d \leqslant 2y} + \sum_{2y < d \leqslant x} := S_1 + S_2.$$
Tu traites $S_1$ comme tu l'as fait (en n'oubliant pas le 2nd terme d'erreur), alors que l'autre est égale à
$$S_2 = - \sum_{2y < d \leqslant x} \mu(d) d^s \log d \left \lfloor \frac{x}{d} \right \rfloor^s \left( \left \lfloor \frac{x}{d} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{x-y}{d} \right \rfloor \right).$$
Cette somme $S_2$ est plus délicate à traiter : la parenthèse est égale à $1$ ou $0$ selon que l'intervalle $\left] \frac{x-y}{d} \, ; \, \frac{x}{d} \right]$ contient un entier ou pas. Cela fait apparaître un problème de points entiers proches d'une courbe régulière, classique dans ce type de somme courte.

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