$\Theta_{\chi}\lt 1$ ?

Selon moi, je pense qu'il y a (au moins) deux écueils :

(1) Sa démonstration de la divergence du membre de gauche de (2) lorsque $\sigma < \Theta_\chi$ ne me semble pas correcte, car il utilise (2) dans une région où on ignore si elle est valide. En effet, (2) est vraie pour tout $\sigma > \Theta_\chi$, alors qu'il l'utilise dans un intervalle $\left] \theta_\chi \, , \, \Theta_\chi \right[$ dans lequel rien ne dit que (2) est toujours vraie. Ce passage est nécessaire à l'utilisation du théorème de Landau qui suppose connu que $\Theta_\chi$ est l'infimum des réel $\sigma$ pour lesquels l'intégrale du membre de gauche converge.

(2) C'est un peu la même erreur lorsqu'il prétend que $\sigma \mapsto f(\sigma, \chi)$ est analytique en $\sigma = 1$ : il établit d'abord cette propriété pour la fonction $\sigma \mapsto g(\sigma,\chi)$, mais pour en déduire que c'est vrai pour la fonction $\sigma \mapsto f(\sigma,\chi)$ en utilisant (2), alors il faut implicitement utiliser l'inégalité $\Theta_\chi < 1$. Si l'on avait $\Theta_\chi = 1$, alors (2) n'est vraie que pour $\sigma > 1$, et l'on ne pourrait rien en déduire pour la fonction $f$ concernant le point $\sigma = 1$.

On a là un papier qui :

(i) Commence par "perdre du temps" à rappeler des généralités très connues pages 1 et 2, absolument inutiles, un peu comme s'il avait des remords à présenter en une page une démonstration d'une conjecture très difficile.

(ii) L'auteur prétend démontrer ce que l'on appelle une quasi-hypothèse de Riemann en une page : c'est impossible !