Somme de carrés

Qu'as-tu déjà trouvé ?
Il y a certains points qui sont évidents, tout de même.

Notons $E=\{p\in \mathcal P, \exists (x,y)\in\N^2, x^2+3y^2=p\}$.

Alors $2\notin E$ et $3=0^2+3\times 1^2\in E$.
De plus, si $p\in E$ et $p>3$ alors $p$ est congru à $1$ modulo $3$ donc, par exemple, $11\notin E$.

On peut dire bien des choses encore sur la parité de $x$ et $y$, le fait que $x$ n'est pas divisible par $3$, etc...

Bref, montre ce que tu as déjà cherché sur le sujet.

Si $p=x^2+3y^2$ alors cela signifie que $p$ est un résidu quadratique modulo $3$. Si $p$ est un nombre premier on peut utiliser la loi de réciprocité quadratique de Legendre...

Bonjour,

Kolotoko pose des colles dont il a la réponse.
C'est un pilier du forum.
Ce n'est pas un étudiant cherchant à faire faire son exercice.

Cordialement,

Rescassol

D'accord Rescassol, je ne connaissais pas ce pilier et sa manière assez particulière de partager des problèmes sur ce forum. C'est noté pour la prochaine fois!

Je vois que personne n'a tenté de résoudre la version que j'ai proposée plus haut (:P)

La première condition est claire, mais j'aimerais bien savoir comment tu as trouvé la seconde ?

Quant à la densité, je rappelle que l'on définit une multitude de densités en théorie des nombres (comme indiqué dans un précédent sujet) : il faudrait que tu précises laquelle, même si, à ma connaissance, ta question est toujours ouverte.

Noix de totos: je pensais à ce théorème qui exprime la deuxième condition
...

Et oui ! J'ai bien vu que la condition de congruence sur $n$ ne s'appliquait pas pour $n=11$ qui est congru à 3 modulo $4$ !
C'est ce que je m'apprêtais à poster !
Il faut donc faire appel à une théorie qui marche pour tout $n$.
La théorie du corps de classes peut-être ?
Je crains d'être déjà complètement dépassé.
...

Je donnerai la réponse dans l'après-midi.

Allons-y !

$p \neq 11$ s'écrit sous la forme $p=x^2+11y^2$ si et seulement si $(-11/p) = 1$ et l'équation
$$x^3-(2^4 \times 1709 \times 41057)x^2+( 2^8 \times 3 \times 11^4 \times 24049)x - (2^4 \times 11 \times 17 \times 29)^3 \equiv 0 \pmod p$$
a une solution. La théorie montre aussi que le coefficient constant du polynôme est toujours un cube parfait, dont les facteurs premiers ne sont pas "trop gros".

La référence à ce type d'exercices est, comme je le disais plus haut et comme df la re-mentionné, le livre de Cox.

Détails.

1. Si $n \not \equiv 3 \pmod 4$ et est sans facteur carré, alors, comme évoqué par df, le polynôme peut être choisi comme étant le polynôme définissant le corps de classes d'Hilbert $K(1)$ de $K = \mathbb{Q} (\sqrt{-n})$ car, dans ce cas, l'anneau des entiers de ce corps est précisément $\mathbb{Z} [\sqrt{-n}]$, d'où l'on déduit avec quelques calculs que $p=x^2+ny^2 \iff p \in \textrm{Split} \left( K(1) / \mathbb{Q} \right)$.

2. Lorsque $n \equiv 3 \pmod 4$, alors $\mathbb{Z} [\sqrt{-n}]$ n'est plus l'ordre maximal de $K$. On cherche alors à généraliser le corps de classes d'Hilbert pour obtenir un corps similaire pour l'ordre $\mathcal{O} = \mathbb{Z} [\sqrt{-n}]$. Ce corps existe grâce à la théorie du corps de classes, c'est celui que Cox appelle ring class field dans son livre, que je note ici $L_{\mathcal{O}}$. Dans l'équivalence précédente, le même raisonnement s'applique en remplaçant $K(1)$ par $L_{\mathcal{O}}$.

Reste donc à trouver comment calculer le polynôme $P_{\mathcal{O}}$ qui définit $L_{\mathcal{O}}$. C'est plus compliqué que pour le corps de classes d'Hilbert, qui lui-même est déjà bien compliqué. En gros, il faut être capable de calculer le nombre de classes $h_{\mathcal{O}}$ de $\mathcal{O}$ (ça, ce n'est pas le plus dur), et on montre alors que
$$P_{\mathcal{O}} = \prod_{k=1}^{h_{\mathcal{O}}} \left( X - j(\mathfrak{a}_k) \right)$$
où $\mathfrak{a}_1, \dotsc, \mathfrak{a}_{\mathcal{O}}$ sont des représentants d'une classe d'idéaux fractionnaires inversibles de $\mathcal{O}$ et $j(\cdot)$ est une extension de l'invariant modulaire usuel définie sur les ordres de $K$.

J'espère avoir été à peu près clair !...

Il te reste à montrer que ton polynôme convient également, le mien ayant été calculé avec la formule indiquée plus haut (au passage, tu as oublié une racine carrée sur un $-11$ à la $9$ème ligne de ton texte).

Bon courage !