Somme de carrés
dans Arithmétique
Bonjour,
je ne connais pas beaucoup l'arithmétique mais j'aimerais savoir quels sont les nombres premiers qui peuvent s'écrire x2 + 3y2 avec x et y entiers naturels?
Bien cordialement.
kolotoko
je ne connais pas beaucoup l'arithmétique mais j'aimerais savoir quels sont les nombres premiers qui peuvent s'écrire x2 + 3y2 avec x et y entiers naturels?
Bien cordialement.
kolotoko
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Réponses
Il y a certains points qui sont évidents, tout de même.
Notons $E=\{p\in \mathcal P, \exists (x,y)\in\N^2, x^2+3y^2=p\}$.
Alors $2\notin E$ et $3=0^2+3\times 1^2\in E$.
De plus, si $p\in E$ et $p>3$ alors $p$ est congru à $1$ modulo $3$ donc, par exemple, $11\notin E$.
On peut dire bien des choses encore sur la parité de $x$ et $y$, le fait que $x$ n'est pas divisible par $3$, etc...
Bref, montre ce que tu as déjà cherché sur le sujet.
regarder A007645 dans OEIS.
Bien cordialement.
kolotoko
Par exemple, beaucoup plus difficile : caractériser les nombres premiers $p$ s'écrivant sous la forme $p = x^2+11y^2$.
Kolotoko pose des colles dont il a la réponse.
C'est un pilier du forum.
Ce n'est pas un étudiant cherchant à faire faire son exercice.
Cordialement,
Rescassol
j'ai besoin d'aide sur ce problème
Déterminer les entiers naturels n et m tels que 2^n + 3^m soit un carré parfait.
Merci
La deuxième condition est que le polynôme $x^3-2x^2+2x-2$ possède une racine modulo $p$.
Je suis pour l'instant bien en peine d'expliquer l'origine de cette dernière expression qui arrive dans la discussion comme un cheveux dans la soupe.
J'aimerais rajouter une question annexe à celle de @noix de toto: quelle est la densité de l'ensemble des nombres premiers représentés par la forme $X^2+11Y^2$ ?
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Quant à la densité, je rappelle que l'on définit une multitude de densités en théorie des nombres (comme indiqué dans un précédent sujet) : il faudrait que tu précises laquelle, même si, à ma connaissance, ta question est toujours ouverte.
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Le théorème ci-dessus est correct, sauf que, dans mon exemple, $11 \equiv 3 \pmod 4$ et ton résultat ne peut s'appliquer tel quel ici.
Plus précisément, le polynôme ici, qui est également du $3$ème degré, doit être choisi plus soigneusement...
C'est ce que je m'apprêtais à poster !
Il faut donc faire appel à une théorie qui marche pour tout $n$.
La théorie du corps de classes peut-être ?
Je crains d'être déjà complètement dépassé.
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Or un même premier $p$ peut-être représenté par deux formes quadratiques distinctes mais de même discriminant.
Il faut donc trouver un critère supplémentaire pour séparer les formes quadratiques.
ps: je me réfère à l'ouvrage de référence de Cox que je possède et qui est téléchargeable également.
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\begin{equation}
\displaystyle p=x^2+ny^2 \: \Longleftrightarrow (-n/p)=1 \: \text{et} \: f_n(x_0) \equiv 0 \pmod p \: \: \text{pour un } x_0 \in \mathbb{Z}
\end{equation}
J'ai un peu de mal à comprendre en quoi consiste le degré, (noté $h(-4n)$ ), de $f_n(x)$.
Ce dernier est le polynôme minimal d'un élément primitif d'un sous-ensemble de $\mathbb{Z}[\sqrt{-11}]$. Comment définir précisément ce sous-ensemble ?
Bref: les explications de noix de totos seront les bienvenues pour moi !
...
$p \neq 11$ s'écrit sous la forme $p=x^2+11y^2$ si et seulement si $(-11/p) = 1$ et l'équation
$$x^3-(2^4 \times 1709 \times 41057)x^2+( 2^8 \times 3 \times 11^4 \times 24049)x - (2^4 \times 11 \times 17 \times 29)^3 \equiv 0 \pmod p$$
a une solution. La théorie montre aussi que le coefficient constant du polynôme est toujours un cube parfait, dont les facteurs premiers ne sont pas "trop gros".
La référence à ce type d'exercices est, comme je le disais plus haut et comme df la re-mentionné, le livre de Cox.
Détails.
1. Si $n \not \equiv 3 \pmod 4$ et est sans facteur carré, alors, comme évoqué par df, le polynôme peut être choisi comme étant le polynôme définissant le corps de classes d'Hilbert $K(1)$ de $K = \mathbb{Q} (\sqrt{-n})$ car, dans ce cas, l'anneau des entiers de ce corps est précisément $\mathbb{Z} [\sqrt{-n}]$, d'où l'on déduit avec quelques calculs que $p=x^2+ny^2 \iff p \in \textrm{Split} \left( K(1) / \mathbb{Q} \right)$.
2. Lorsque $n \equiv 3 \pmod 4$, alors $\mathbb{Z} [\sqrt{-n}]$ n'est plus l'ordre maximal de $K$. On cherche alors à généraliser le corps de classes d'Hilbert pour obtenir un corps similaire pour l'ordre $\mathcal{O} = \mathbb{Z} [\sqrt{-n}]$. Ce corps existe grâce à la théorie du corps de classes, c'est celui que Cox appelle ring class field dans son livre, que je note ici $L_{\mathcal{O}}$. Dans l'équivalence précédente, le même raisonnement s'applique en remplaçant $K(1)$ par $L_{\mathcal{O}}$.
Reste donc à trouver comment calculer le polynôme $P_{\mathcal{O}}$ qui définit $L_{\mathcal{O}}$. C'est plus compliqué que pour le corps de classes d'Hilbert, qui lui-même est déjà bien compliqué. En gros, il faut être capable de calculer le nombre de classes $h_{\mathcal{O}}$ de $\mathcal{O}$ (ça, ce n'est pas le plus dur), et on montre alors que
$$P_{\mathcal{O}} = \prod_{k=1}^{h_{\mathcal{O}}} \left( X - j(\mathfrak{a}_k) \right)$$
où $\mathfrak{a}_1, \dotsc, \mathfrak{a}_{\mathcal{O}}$ sont des représentants d'une classe d'idéaux fractionnaires inversibles de $\mathcal{O}$ et $j(\cdot)$ est une extension de l'invariant modulaire usuel définie sur les ordres de $K$.
J'espère avoir été à peu près clair !...
Une fois de plus, je vais ânonner des concepts quasi-divins qui me dépassent complètement (en plus, la chaleur me fait délirer !)
J'essaye juste d'accéder à des bribes de compréhension. Ce qui n'est déjà pas de la tarte.
Déjà, je (me) rappelle que le point de départ de tout cela est: pour un $n \in \mathbb{N}$ et un $p$ premier donnés, $p=x^2+ny^2$ si et seulement si $(p)=\mathfrak{p}\mathfrak{\overline{p}}$ dans $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ et $\mathfrak{p}$ est un idéal principal.
Si je t'ai bien lu, ce que tu appelles un ordre de $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$ est un sous-anneau de $K$ $\textbf{contenu dans}$ les entiers algébriques de $K$ et tout élément de cet ordre est un entier algébrique.
Finalement, le premier polynôme $f_{11}(x)=x^3-2x^2+2x-2$ que j'avais mentionné était peut-être le bon.
Comment trouve-t-on concrètement ce polynôme ? Il est important de connaîtrer le $\textbf{ring class Field}$ de $\mathbb{Z}[\sqrt{-11}]$.
Il se trouve que le nombre de classes d'idéaux $h_{\mathscr{O}}$ de l'ordre $\mathscr{O}=\mathbb{Z}[\sqrt{-11}]$, de discriminant $D=-44$ est $3$ qui est également le degré du polynôme $f_{11}(x)$ recherché.
L'idée est alors d'exhiber un élément primitif de ce "ring class Field" dont $f_{11}(x)$ est le polynôme minimal.
Dans ce cas précis, le $\textbf{ring class field}$ de $\mathscr{O}$ est $\mathbb{Q}(j(-11))=\mathbb{Q}\big(\mathfrak{f}(-11)^2\big)$ où $j$ est la racine cubique du $j$-invariant et $\mathfrak{f}$: une fonction de Weber (il y en a trois).
Bon: j'arrête d'abuser des anglicismes et je reconsidèrerai tout cela quand il fera moins chaud.
Je vais de ce pas me perdre entre les monts du Cantal et les causses de la Lozère.
edit: merci Ndt et Poirot !
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Bon courage !