Test de primalité de Lucas Lehmer

Dans un groupe, si on dispose de deux éléments $x$ et $y$ d'ordres respectifs $a$ et $b$ et tels que $x$ et $y$ commutent, alors $xy$ est d'ordre $\text{PPCM}(a,b)$. La généralisation à un produit de $n$ éléments qui commutent entre eux deux à deux est immédiate.

EDIT : c'est bien sûr n'importe quoi.

@anymal34
Effectivement, ce que tu as entouré en rouge dans le corrigé, me paraît problématique. Je ne vois pas pour l'instant comment procéder en utilisant le produit $a$ des $a_{p_i}$ comme indiqué par l'énoncé. Une bonne chose serait de trouver un contre-exemple.

Cependant, on peut s'écarter un tantinet de l'énoncé en utilisant le lemme suivant : soit, dans un groupe, deux éléments $x,y$ qui commutent, d'ordres respectifs $a,b$. Alors il existe $z \in \langle x,y\rangle$ d'ordre le ppcm de $a,b$. Note : ne pas croire que $z = xy$ convient.

Du coup, on finit par obtenir dans $(\Z/N\Z)^\times$, un élément, notons le $b$, dont l'ordre est le ppcm des entiers $d_p$, qui est $N-1$. Ce qui prouve que $N$ est premier.

Autre chose : dans le corrigé, 4 lignes en partant de la fin, la phrase ``Par suite, $d$ a les mêmes facteurs premiers que $N-1$, ce qui prouve que $d = N-1$'' me paraît douteuse.

Bref, il faut mettre de l'ORDRE dans ce truc.

Pour le lemme de Claude [ici], on peut montrer qu'il existe des entiers naturels $\alpha,\beta$ premiers entre eux tels que $\alpha$ divise $a$, $\beta$ divise $b$ et $\alpha\beta=\mathrm{ppcm}(a,b)$.
D'où $x^{a/\alpha}y^{b/\beta}$ est d'ordre $\mathrm{ppcm}(a,b)$.