Une question d'ensemble infini

S'il n'y avait qu'un nombre fini de $x$ tels que $x^2+1$ soit divisible par un nombre premier de la forme $4k+1$, il n'y aurait qu'un nombre fini de nombres premiers de la forme $4k+1$.

Bonjour,
Pour tout $p\geqslant 3$ premier, l'équation $x^2\equiv -1\,[p]$ possède au moins une solution ssi $p\equiv 1\,[4]$. C'est une conséquence de : pour tout $p\geqslant 3$ premier et $a\in\Bbb Z$ non multiple de $p$, $a$ est un carré modulo $p$ ssi $a^{\frac{p-1}2} \equiv 1\,[p]$.
Mais je ne suis pas sûr de comprendre la question. On a par exemple $2^2 \equiv -1\,[5]$ et $5\equiv1\,[4]$. Donc les entiers de $2+5\Bbb Z$ fournissent une infinité de solutions à une équation du type $x^2\equiv -1\,[p]$ avec $p\equiv 1\,[4]$ premier.