Nouvelle solution équation de Pell-Fermat

Ni Pell ni Fermat n'ont inventé ou résolu cette équation.
Il semblerait que Diophante lui-même en parla le premier.
Sa résolution complète fut longue à se dessiner et s'acheva grâce aux travaux de Dedekind notamment.

@ Gai Requin

« [La question] que j'avais proposée à M. Frenicle et autres est d'aussi grande ou même plus grande difficulté : Tout nombre non carré est de telle nature qu'il y a infinis carrés qui, multipliant ledit nombre, font un carré moins 1. Je la démontre par la descente appliquée d'une manière toute particulière .» Pierre Fermat, Lettre à Carcavi, août 1659.

Marronnier encore : nous avons déjà parlé de l'appellation erronée « équation de Pell », due à une confusion d'Euler, mais je n'arrive pas à retrouver les nombreux arguments que j'avais avancés en faveur de l'abandon de cette appellation erronée. Les publications récentes sérieuses parlent
d' « équation de Pell-Fermat », ce qui est déjà trop consentir à l'erreur, à mon avis : Jean Itard parlait d'« équation de Fermat ». Pour ne pas rompre la continuité avec les publications anciennes traitant de cette équation sous le nom erroné de Pell, on pourrait user de la dénomination « équation de Fermat-"Pell"», ce qui représente aussi un compromis avec l'erreur, mais il est des compromis acceptables.

Je ne suis pas le seul sur ce forum qui signale la juste attribution à Fermat de cette équation : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1233717,1233773#msg-1233773

À suivre...
Fr. Ch.

Bonsoir,

On peut (ce que j'ai fait) s'amuser à effectuer "à la main" le développement en fractions continuées de $\sqrt{67}$, ce qui,somme toute, n'est pas si fastidieux ( dix fractions à calculer) et permet de mettre la main sur la solution fondamentale de l'équation $$x^2-67y^2 =1:\quad x=a=48842;\:\: y=b = 5967.$$
Dès lors, un ensemble de solutions dans $\N^2$ de $x^2-67y^2 = d^2 -67 $ est: $\qquad \{(x_n;y_n) \mid n\in \N\}\cup \{(u_n;v_n) \mid n \in \N^*\}$ où:

$$ x_n + y_n\sqrt {67} = (a+b\sqrt {67}) ^n (d+\sqrt{67}),\qquad u_n + v_n\sqrt {67} = (a+b\sqrt {67}) ^n (d-\sqrt{67}).$$
La chose s'écrit aussi:$$ \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a&67b\\ b&a \end{pmatrix}^n\begin{pmatrix} d \\1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} u_n\\ v_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a&67b\\ b&a\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix} d \\-1 \end{pmatrix}.$$

Pour déterminer l'ensemble des solutions de $x^2-67y^2 = d^2 -67 $ (qui est d'ailleurs peut-être égal au précédent), il reste à appliquer une procédure très simple mais irréalisable " à la main", en raison de la taille exorbitante du nombre $d$.

Bonjour, si tu connais une solution rationnelle $(x_0,y_0)$ d'une conique alors tu les trouves tous en posant $y=m(x-x_0)+y_0$
$m\in \mathbb{Q}$. Puis tu résous en $x$ je n'ai pas écrit mais ça existe les solutions dans $\mathbb{Q}$.

Bonjour,
$$(a+b)^{2n+1}=a^{2n+1}+b^{2n+1}+\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}(ab)^k(a^{2n+1-2k}+b^{2n+1-2k})$$

C'est plutot direct $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.