Une amusette
dans Arithmétique
Trouver, si possible, une puissance de 3 se terminant par
726 chiffres 0 suivis de 2, 4 et 7
726 chiffres 0 suivis de 2, 4 et 7
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Réponses
La suite $3^{3+4n} \mod{1000}$ est périodique de période $25$ et ne contient pas $247$.
Cordialement,
Rescassol
Donc la fonction $f(n)=3^{n} \mod{1000}$ est périodique de période $100$.
Par ailleurs, numériquement on voit que pour $n=0,1,...,99$, $f(n)$ n'est jamais la classe de $247$ modulo $1000$.
PS:
L'énoncé ne comporte-t-il pas une erreur? N'est-ce pas plutôt $267$?
FdP, c'est ma solution !!
Cordialement,
Rescassol
A priori, ce n'est pas parce qu'il n'existe pas d'entier $n$ tel que $3^{3+4n}\equiv 247\mod{1000}$ qu'il n'existe pas d'entier $m$ tel que $3^{m}\equiv 247\mod{1000}$
J'ai bien fait de poster mon message. Autrement je n'aurais pas eu cette précision.
Néanmoins ce que je propose n'est pas exactement ce que propose Rescassol.
On sait que la fonction $3^n \mod{1000}$ est périodique. Il suffit de déterminer une période $m$ de cette fonction pour se retrouver à appliquer une méthode d'arithmétique: la disjonction des cas. Il y a $m-1$ cas à examiner et ici, $m=100$.
Ce que propose Rescassol permet d'avoir moins de cas à étudier, $25$ ce qui est nettement plus simple que ce que je propose.
Oui Bisam, FdP fait souvent celui qui ne comprend pas, mais c'est la première fois que je le vois le faire sur un sujet mathématique.
Cordialement,
Rescassol
Je ne lis pas dans l'esprit des gens, pas même dans le tien.
Dans ce cas, FdP, pose une question au lieu de faire comme si tu n'avais rien vu.
Cordialement,
Rescassol
En partant de $E_0=39$, il vient successivement $E_1=139$, $E_2=2639$, $E_3=47639$, $E_4=497639$.
Et après un peu de programmation (et environ deux minutes de calcul), on trouve que $E_{762}$ vaut :
PS : Merci Rescassol pour l'idée de la balise "code" qui permet au moins le copier-coller facile.
Mets le dans des balises "code".
Cordialement,
Rescassol
Toute puissance de 3 est congrue à 1 ou 3 modulo 8. Or tout nombre terminant par 247 est congru à 7 modulo 8. Le problème de Soland n'a donc pas de solution.
@bisam Qui peut le plus peut le moins: Soland n'exige pas exactement 726 zéros et 762>726.
Cordialement
Paul