Une amusette
dans Arithmétique
Trouver, si possible, une puissance de 3 se terminant par
726 chiffres 0 suivis de 2, 4 et 7
726 chiffres 0 suivis de 2, 4 et 7
Réponses
-
Bonjour,
La suite $3^{3+4n} \mod{1000}$ est périodique de période $25$ et ne contient pas $247$.
Cordialement,
Rescassol -
Numériquement on voit que: $3^{100} \equiv 1\mod{1000}$
Donc la fonction $f(n)=3^{n} \mod{1000}$ est périodique de période $100$.
Par ailleurs, numériquement on voit que pour $n=0,1,...,99$, $f(n)$ n'est jamais la classe de $247$ modulo $1000$.
PS:
L'énoncé ne comporte-t-il pas une erreur? N'est-ce pas plutôt $267$? -
Bonjour,
FdP, c'est ma solution !!
Cordialement,
Rescassol -
L'ensemble des entiers $3+4n$ quand $n$ prend les valeurs $0,1,....$ n'est pas $\mathbb{N}$
A priori, ce n'est pas parce qu'il n'existe pas d'entier $n$ tel que $3^{3+4n}\equiv 247\mod{1000}$ qu'il n'existe pas d'entier $m$ tel que $3^{m}\equiv 247\mod{1000}$ -
Si c'est bien 267 à la fin, on a déjà : \[3^{396497639} = \dots 510000000267\]
-
Bisam:
J'ai bien fait de poster mon message. Autrement je n'aurais pas eu cette précision.
Néanmoins ce que je propose n'est pas exactement ce que propose Rescassol.
On sait que la fonction $3^n \mod{1000}$ est périodique. Il suffit de déterminer une période $m$ de cette fonction pour se retrouver à appliquer une méthode d'arithmétique: la disjonction des cas. Il y a $m-1$ cas à examiner et ici, $m=100$.
Ce que propose Rescassol permet d'avoir moins de cas à étudier, $25$ ce qui est nettement plus simple que ce que je propose. -
Bonjour,
Oui Bisam, FdP fait souvent celui qui ne comprend pas, mais c'est la première fois que je le vois le faire sur un sujet mathématique.
Cordialement,
Rescassol -
Rescassol:
Je ne lis pas dans l'esprit des gens, pas même dans le tien. -
Bonjour,
Dans ce cas, FdP, pose une question au lieu de faire comme si tu n'avais rien vu.
Cordialement,
Rescassol -
Des essais numériques me font conjecturer qu'il suffit d'augmenter l'exposant $E_N$ d'un certain nombre de fois $50\times 10^{N}$ pour trouver une puissance de $3$ qui compte $N$ zéros précédant $267$ à la fin de son écriture décimale.
En partant de $E_0=39$, il vient successivement $E_1=139$, $E_2=2639$, $E_3=47639$, $E_4=497639$.
Et après un peu de programmation (et environ deux minutes de calcul), on trouve que $E_{762}$ vaut :43633636742202566799841259189040981949632689645935906151199708175556269738341882952258795303717445660066868541304023306389882142765597086109027194786259208025927489129672873652714749743617491217348628516404668576142148503442291665459474225720070353247177065567366821681326016466204854657921580227486110634742603692165435449248481797351704129590536950839006735671515627774480815108791958562905980596717544928228106549427158558004995287276530263141470115804409294527435976997083702507287841020915953351490174058093507486418210524577964032070444417489165820952957450396483411564015612229062104206312228473785666519479433149669146425260301718304484251693392372813115008662908724478473740824229991567949525258919973701334296653352637763415864725596549870391763896497639
PS : Merci Rescassol pour l'idée de la balise "code" qui permet au moins le copier-coller facile. -
Bonjour,
Mets le dans des balises "code".
Cordialement,
Rescassol -
En guise de bonus, voici le code Python qui a permis de trouver ce résultat (en seulement 39 secondes de calcul, après vérification) :
def cherche_puiss2(mantisse=267, zeros=762): """Renvoie l'exposant de la première puissance de 3 égale à la mantisse, précédée d'autant de zéros que demandé, modulo le nécessaire.""" m = 10**len(str(mantisse)) K = 1 while pow(3, K, m) != mantisse and K<100: K += 1 if K == 100: print( "Mantisse non trouvée dans les puissances de 3.") return #print("Mantisse trouvée pour l'exposant {}".format(K)) nb_zeros = 0 increment = 50 while nb_zeros < zeros: m *= 10 while pow(3, K, m) != mantisse: K += increment nb_zeros += 1 increment *= 10 #print(K, nb_zeros) return K
-
Mince, je viens de voir que j'ai mis $762$ zéros au lieu de $726$... Bon, maintenant, il suffit d'exécuter le code pour trouver une puissance qui convient...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres