Une amusette

Bonjour,

La suite $3^{3+4n} \mod{1000}$ est périodique de période $25$ et ne contient pas $247$.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

FdP, c'est ma solution !!

Cordialement,

Rescassol

Si c'est bien 267 à la fin, on a déjà : \[3^{396497639} = \dots 510000000267\]

Bisam:

J'ai bien fait de poster mon message. Autrement je n'aurais pas eu cette précision.

Néanmoins ce que je propose n'est pas exactement ce que propose Rescassol.
On sait que la fonction $3^n \mod{1000}$ est périodique. Il suffit de déterminer une période $m$ de cette fonction pour se retrouver à appliquer une méthode d'arithmétique: la disjonction des cas. Il y a $m-1$ cas à examiner et ici, $m=100$.
Ce que propose Rescassol permet d'avoir moins de cas à étudier, $25$ ce qui est nettement plus simple que ce que je propose.

Rescassol:
Je ne lis pas dans l'esprit des gens, pas même dans le tien.

Des essais numériques me font conjecturer qu'il suffit d'augmenter l'exposant $E_N$ d'un certain nombre de fois $50\times 10^{N}$ pour trouver une puissance de $3$ qui compte $N$ zéros précédant $267$ à la fin de son écriture décimale.
En partant de $E_0=39$, il vient successivement $E_1=139$, $E_2=2639$, $E_3=47639$, $E_4=497639$.

Et après un peu de programmation (et environ deux minutes de calcul), on trouve que $E_{762}$ vaut :

43633636742202566799841259189040981949632689645935906151199708175556269738341882952258795303717445660066868541304023306389882142765597086109027194786259208025927489129672873652714749743617491217348628516404668576142148503442291665459474225720070353247177065567366821681326016466204854657921580227486110634742603692165435449248481797351704129590536950839006735671515627774480815108791958562905980596717544928228106549427158558004995287276530263141470115804409294527435976997083702507287841020915953351490174058093507486418210524577964032070444417489165820952957450396483411564015612229062104206312228473785666519479433149669146425260301718304484251693392372813115008662908724478473740824229991567949525258919973701334296653352637763415864725596549870391763896497639

PS : Merci Rescassol pour l'idée de la balise "code" qui permet au moins le copier-coller facile.

En guise de bonus, voici le code Python qui a permis de trouver ce résultat (en seulement 39 secondes de calcul, après vérification) :

def cherche_puiss2(mantisse=267, zeros=762):
    """Renvoie l'exposant de la première puissance de 3 égale à la mantisse,
    précédée d'autant de zéros que demandé, modulo le nécessaire."""
    
    m = 10**len(str(mantisse))
    K = 1
    while pow(3, K, m) != mantisse and K<100:
        K += 1
    if K == 100:
        print( "Mantisse non trouvée dans les puissances de 3.")
        return
    #print("Mantisse trouvée pour l'exposant {}".format(K))
    
    nb_zeros = 0
    increment = 50
    while nb_zeros < zeros:
        m *= 10
        while pow(3, K, m) != mantisse:
            K += increment
        nb_zeros += 1
        increment *= 10
        #print(K, nb_zeros)
    
    return K

Bonjour

Toute puissance de 3 est congrue à 1 ou 3 modulo 8. Or tout nombre terminant par 247 est congru à 7 modulo 8. Le problème de Soland n'a donc pas de solution.
@bisam Qui peut le plus peut le moins: Soland n'exige pas exactement 726 zéros et 762>726.

Cordialement
Paul