Puissances de 2

Soit $M=\begin{pmatrix}1&1&1&1 \\ 1&1&-1&-1 \\ 1&-1&1&-1 \\ 1& -1&-1&1 \end{pmatrix}$.
Alors $M^2=4I_4$ et par conséquent $M^{-1}=\frac{1}{4} M$.

Si $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ sont des puissances de $2$ dans l'ordre décroissant telles que la différences de deux quelconques d'entre elles est multiple de $4$ alors $\begin{pmatrix}a \\ b \\ c \\d\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}e_1 \\ e_2 \\ e_3 \\e_4\end{pmatrix}$ est une solution.

Bonjour

Dans les pas de YvesM :
$\displaystyle 4a=A+B+C+D$. Donc $\displaystyle a=\frac{A+B+C+D}{4}$.

kolotoko a écrit:

il me semble que la condition donnée par bisam est suffisante mais non nécessaire.

J'ai eu la flemme de chercher une condition nécessaire.
Sauf erreur pour que le système soit inversible en nombres entiers, il faut et il suffit que les nombres $A,B,C,D$ soient tous pairs et qu'un nombre pair d'entre eux soient divisibles par $4$ ou bien qu'ils soient tous impairs et qu'un nombre pair d'entre eux soient congrus à $1$ modulo $4$.
Lorsque $A,B,C,D$ sont des puissances de $2$, le deuxième cas ne peut se produire que si $A=B=C=D=1$, auquel cas $a=1$ et $b=c=d=0$. Dans le premier cas, les seules puissances de $2$ non divisibles par $4$ étant $1$ et $2$, il ne reste que le cas où $A=B=C=D=2$ qui donne $a=2$ et $b=c=d=0$, les cas où $A=2^{n_1}$, $B=2^{n_2}$ avec $n_1\geq n_2\geq 2$ et $C=D=2$, enfin les cas où $A,B,C,D$ sont des puissances de 2 supérieures ou égales à $4$.

Ainsi, l'ensemble des solutions est [\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}\right\} \cup \left\{\begin{pmatrix}2^{n_1-2}+2^{n_2-2}+1\\2^{n_1-2}+2^{n_2-2}-1\\2^{n_1-2}-2^{n_2-2}\\2^{n_1-2}-2^{n_2-2}\end{pmatrix},(n_1,n_2)\in (\N\setminus \{0,1\})^2 \right\} \cup \left\{M^{-1}\begin{pmatrix}2^{n_1}\\2^{n_2}\\2^{n_3}\\2^{n_4}\end{pmatrix},(n_1,n_2,n_3,n_4)\in (\N\setminus \{0,1\})^4\right\}\]