Équation d'entiers relatifs

Bonjour à tous
Je suis récemment tombé sur l'exercice suivant.

Soient $\alpha > n\ge2$ des entiers. Montrer que l’équation $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^{2} = \alpha\prod_{i=1}^nx_i$ n'admet pas de solutions dans $\mathbb{Z}^n\setminus\{(0,…,0)\}$.

J'ai un peu de mal à voir pourquoi il n'y en aurait pas. J'ai essayé d’interpréter géométriquement en considérant le terme de gauche comme une norme au carré et le terme de droite comme un volume en dimension $n$, ce qui donnerait par exemple en dimension 2 qu'il n'existe aucun rectangle (de coté $x_1$ et $x_2$) dont l'aire du carré formé par sa diagonale soit un multiple de son aire.
Je me suis aussi dit que comme il s'agit d'entiers cela pourrait [être] pertinent de travailler avec des congruences mais je n’aboutis pas non plus.
Je suis preneur d'indices ou de conseils si vous en avez.
Merci de votre aide.