Fonction arithmétique et multiplicative

Ta réponse à la 1 est tellement bizarre.... c'est n qui est fixé et d qui varie.
L'élément neutre doit etre checké a gauche et a droite.

Si je peux me permettre, evite, dans tes sommations, de noter des $(d_1,d_2) \in C_d$. Écris plus simplement
$$\left( (f \star g) \star h \right) (n)= \sum_{d \mid n} (f \star g)(d) h (n/d) = \sum_{d \mid n} \sum_{d_1 \mid d} f(d_1) g(d/d_1) h(n/d)$$
et
$$\left( f \star (g \star h) \right) (n)= \sum_{d \mid n} f(d) (g \star h) (n/d) = \sum_{d \mid n} f(d) \sum_{d_1 \mid (n/d)} g(d_1) h(n/(d d_1)).$$
Maintenant, pour voir que ces deux quantités sont égales, il suffit de poser $d_2 = d d_1$ dans la deuxième somme, d'où
$$\left( f \star (g \star h) \right) (n)= \sum_{d_2 \mid n} \sum_{ d \mid d_2} f(d) g(d_2/d) h(n/d_2) = \left( (f \star g) \star h \right) (n) .$$
Ainsi, $\left( \mathcal{A},+,\star \right)$ est un anneau commutatif unitaire d'élément neutre $\delta$ (cette notation n'est pas usuelle), et dont les éléments inversibles sont les fonctions arithmétiques $f$ vérifiant $f(1) \neq 0$. On notera qu'une fonction multiplicative est donc inversible.

Bonjour,

@OS : qu'as-tu écrit ici ?

Thierry

O Shine,

L'associativité du produit de convolution de Dirichlet des fonctions arithmétiques peut vite devenir pénible à établir si l'on n'utilise pas une bonne méthode de présentation des calculs.

Cet exercice a sans doute été écrit par un non-arithméticien : la méthode proposée n'est pas la plus claire qui soit. Donc, permets-moi de te (re)dire la maxime suivante : quand, en mathématiques, tu disposes de plusieurs méthodes pour arriver à un résultat, prends toujours la plus simple et la plus claire.

Tu n'es assurément pas obligé de suivre stricto sensu un énoncé, du moment que tu démontres la propriété demandée.

Quant aux éléments inversibles de cet anneau, c'est un cadeau de ma part...

Et je t'en donne même un autre : on montre, mais c'est plus difficile, que cet anneau est intègre (sans diviseur de zéro) et même factoriel.

Oshine tu as le CAPES Lundi, ça serait peut être bien pour une seule fois dans ta vie de prendre 3-4h de ton temps de faire un sujet toi même pour voir où tu en es au lieu de te faire corriger par les autres des sujets qui ont rien à voir avec ton cours non?

Question 6. Utilise le fait que $f$ est multiplicative si et seulement si $f(1)=1$ et, surtout,
$$n = p_1^{e_1} \dotsb p_k^{e_k} \Longrightarrow f(n) = f \left( p_1^{e_1} \right) \dotsb f \left( p_k^{e_k} \right).$$
Autrement dit, la connaissance des valeurs de $f$ sur les puissances primaires de $n$ permet de remonter aux valeurs de $n$ lui-même.

Question 7. Si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, alors tout diviseur $d$ de $mn$ peut s'écrire de façon unique $d=d_1 d_2$ avec $d_1 \mid m$ et $d_2 \mid n$ et, accessoirement, $\textrm{pgcd}(d_1,d_2) = 1$. C'est une conséquence immédiate de la décomposition en facteurs premiers.

Question 8. Elle est fondamentale en théorie multiplicative des nombres. D'après la Question 7 (utilisée ligne 2 ci-dessous), si $m$ et $n$ sont premiers entre eux et comme $f$ et $g$ sont multiplicatives (utilisé ligne 3 ci-dessous)
\begin{align*}
(f \star g) (mn) & = \sum_{d \mid mn} f(d) g(mn/d) \\
& = \sum_{d_1 \mid m} \sum_{d_2 \mid n} f(d_1 d_2) g \left( \frac{m}{d_1} \times \frac{n}{d_2} \right) \\
& = \sum_{d_1 \mid m} \sum_{d_2 \mid n} f(d_1) f (d_2) g \left( \frac{m}{d_1} \right) g \left( \frac{n}{d_2} \right) \\
& = \sum_{d_1 \mid m} f(d_1) g(m/d_1) \times \sum_{d_2 \mid n} f(d_2) g(n/d_2) \\
& = (f \star g)(m) \times (f \star g) (n).
\end{align*}

Questions 9 et 10. Exact !

Le $f(1)=1$ n'est là que pour assurer l'équivalence ("si et seulement si") de l'énoncé mais ne s'utilise pas ici.

Pour la 8, regarde bien les indices de sommations entre la 1ère ligne et la seconde : j'ai utilisé le fait que $d \mid mn$ équivaut à l'existence d'un diviseur $d_1$ de $m$ et d'un diviseur $d_2$ de $n$, premiers entre eux et tels que $d=d_1d_2$. La bijection est dans l'équivalence de ce procédé, qui va te permettre de remplacer chaque $d$ de la ligne 1 par $d_1d_2$, puis d'utiliser la multiplicativité de $f$ et $g$ à la ligne 3 pour séparer tous les facteurs, et en faire deux sommes distinctes.

Question 6. Ben, tu y étais presque...Pourquoi n'as-tu pas terminé en utilisant la multiplicativité de $g$ ?

Question 7. Tu peux prendre $k=q$, quitte à avoir des valuations nulles, puis prendre $d_1 = p_{r+1}^{\delta_{r+1}} \dotsb p_q^{\delta_q}$ et $d_2 = p_1^{\delta_1} \dotsb p_r^{\delta_r}$. Il est clair que $d=d_1 d_2$, que $d_1 \mid m$, $d_2 \mid n$ et $(d_1,d_2) = 1$.

Pour tout cet exercice, et plein d'autres choses, je te suggère cet ouvrage.

Le chapitre des points entiers proches d'une courbe plane est d'un niveau plus élevé que le reste du livre, et nécessite des connaissances en combinatoire : étant donné un nombre $\delta \in \left] 0 , \frac{1}{4} \right]$, il s'agit de majorer le nombre de points entiers, i.e. points à coordonnées entières, qui sont à une distance $\leqslant \delta$ d'une courbe d'une fonction régulière.

Ce nombre a des applications importantes en arithmétique, notamment dans les estimations de sommes courtes de certaines fonctions multiplicatives, en particulier celles dont les valeurs aux nombres premiers sont proches de $1$.

Exemple. Je suppose que tu connais la fonction de Möbius $\mu$ (sinon : wikipédia). C'est une fonction multiplicative. D'après la définition de cette fonction, son carré $\mu^2$, qui est aussi multiplicative, est donc la fonction indicatrice des entiers sans facteur carré, i.e. les entiers $n$ de la forme $n = p_1 p_2 \dotsb p_r$ où tous les nombres premiers sont distincts. Ceux qui font de la théorie des nombres connaissent bien la proportion de ces entiers parmi tous les autres : plus précisément, on connait la somme $\sum_{n \leqslant x} \mu^2 (n)$, qui vaut
$$\sum_{n \leqslant x} \mu^2 (n) = \frac{x}{\zeta(2)} + O \left( \sqrt x \right)$$
et donc, en divisant tout par $x$, on voit que la proportion de ces entiers est à peu près égale à $\frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61 \%$. Le théorème des nombres premiers permet même de remplacer le grand "O" par un petit "o".

Maintenant, si tu veux des infos plus locales, par exemple connaître la distribution de ces entiers sans facteur carré dans des intervalles de la forme $\left]x, x+y \right]$, avec $1 \leqslant y \leqslant x$, tu es amené à calculer la somme
$$\sum_{x < n \leqslant x + y} \mu^2 (n).$$
Ce type de somme s'appelle somme courte car, souvent, on a $y=o(x)$. Bizarrement, ces sommes courtes sont bien plus délicates à estimer que les longues (un intervenant a récemment tenté d'en calculer une le mois dernier). L'une des méthodes possibles consiste à utiliser des théorèmes concernant les points entiers proches d'une certaine courbe. C'est ce que ce chapitre propose de découvrir.

Ai-je été clair ?

Pour $f(1)=1$, c'est ça.

Pour l'hérédité, tu fais une récurrence forte : suppose connues les valeurs de $g(1), \dotsc, g(p^k)$. Alors, puisque $(f \star g ) (p^{k+1}) = \delta(p^{k+1}) = 0$, on obtient
$$\underbrace{f(1)}_{=1} g(p^{k+1}) + \sum_{\substack{d \mid p^{k+1} \\ d > 1}} f(d) g(p^{k+1}/d) = 0 \iff g(p^{k+1}) = - \sum_{\substack{d \mid p^{k+1} \\ d > 1}} f(d) g(p^{k+1}/d)= - \sum_{i=1}^{k+1} f(p^i) g(p^{k+1-i})$$
et c'est gagné.

2 est le produit de combien de nombre premiers?... :)o

Que vaut $\mu(6) = \mu(2 \times 3)$ du coup?

Mais tu as écrit $\mu(2) = 0$ plus haut donc...
Et non $\mu(2^2 3^4) = 0$

Cette fonction tu trouves pas qu'elle ressemble à celle d'un autre sujet que tu as fait la semaine dernière?