Arithmétique modulaire

amine82 · July 2020

Bonjour

Question simple, sous quelles conditions sur $a$ et $b$ (avec $a$ premier avec $b\,$ et $a<b $) peut-on être sûr qu'il existe un $k$ tel que $a^k\pmod b<a \pmod b$ ?

Toute réponse partielle sera la bienvenue:-)
Merci d'avance.

Poirot · July 2020

C'est toujours vrai dès que $a > 1$ puisque, $a$ étant premier avec $b$, $a$ est inversible modulo $b$ et donc est d'ordre fini dans le groupe multiplicatif $\left(\mathbb Z/b \mathbb Z\right)^{\times}$. Si $k$ est l'ordre de $a$ dans ce groupe, on a $a^k \equiv 1 \text{ mod } b$.

amine82 · July 2020

Merci Poirot. J'ai oublié d'ajouter que $k$ est inférieur à l'ordre de $a$. 8-)

amine82 · July 2020

Quelqu'un peut me diriger vers un article qui aborde le sujet de près ou de loin ?

Je n'ai même pas le bout du fil.

Poirot · July 2020

Voilà une condition suffisante : $b = p^{\alpha}$ avec $p$ premier impair et $a \neq 2$ un générateur de $\left(\mathbb Z/b\mathbb Z\right)^{\times}$.

amine82 · July 2020

Merci Poirot, dans ce cas le groupe est évidemment cyclique... ce qui m'impressionne c'est surtout le manque de connaissance que nous avons concernant les groupes $(\Z/n\Z)$ quand $n$ n'est pas une puissance d'un nombre premier.
Que peut-on dire si $n=\prod_{i=1}^m p_{i}$ avec $p_{i}$ nombres premiers distincts.

babsgueye · July 2020

Salut,

Si $a\neq 2$ et que $m$ est le cardinal de l'ensemble des éléments de $(\Z/b\Z)^{\times}$ supérieurs à $a$, il suffit que l'ordre de $a$ dans $(\Z/b\Z)^{\times}$ soit supérieur à $m + 2$.

Cordialement

amine82 · July 2020

Merci pour ta réponse.

Arithmétique modulaire

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 26