Densité asymptotique
dans Arithmétique
Bonjour à tous
Je bloque sur un calcul de densité asymptotique. Est-ce que quelqu'un peut m'aider ? Merci d'avance.
Il s'agit de :
pour $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls donnés, on considère $N_{a,b}=\{ a\cdot i + b\cdot j \mid (i, j)\in \mathbb{N}^{2} \}$. Quelle est la densité asymptotique $d(N_{a,b})$ ?
Cordialement.
Je bloque sur un calcul de densité asymptotique. Est-ce que quelqu'un peut m'aider ? Merci d'avance.
Il s'agit de :
pour $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls donnés, on considère $N_{a,b}=\{ a\cdot i + b\cdot j \mid (i, j)\in \mathbb{N}^{2} \}$. Quelle est la densité asymptotique $d(N_{a,b})$ ?
Cordialement.
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Réponses
1. La densité naturelle ;
2. La densité logarithmique ;
3. La densité analytique ;
4. La densité de Schnirelmann ;
5. La densité multiplicative de Davenport & Erdös ;
6. La densité divisorielle de Hall ;
etc.
Quoi qu'il en soit, si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, je trouve $d(N_{a,b}) = (ab)^{-1}$. À vérifier, toutefois.
C'est le problème des piéces de monnaie (Problème de Frobenius)
Dans le cas général, je pense qu'on peut conclure que le complémentaire de $N_{a,b}$ a pour densité $\frac{1}{(a,b)}$, et donc que $N_{a,b}$ a pour densité $1-\frac{1}{(a,b)}$.
Voilà mes dernières réflexions sur ce sujet, qui rejoignent celles de i.Zitoussi : le théorème de Sylvester implique que, pour $1 \leqslant a < b$ premiers entre eux, pour tout $n \geqslant 1$ entier, l'équation $ax+by = n$ n'a aucune solution si et seulement si $n \leqslant ab-a-b$, d'où le résultat.
En revanche, je n'ai pas cherché (ni trouvé, donc) le cas $(a,b) > 1$
Merci et excellente journée à vous tous.
Cordialement.
JRManda