Une conique

Tonm · July 2020

Bonjour, $ax^2-by^2=c$ a au moins une solution rationnelle pour $a,b,c\in \mathbb{N}^*$?
Je crois que c'est bien connu (chercher) ces trucs.

Une petite recherche dit que s'il y en a un tel point $A$ on peut en prenant une ligne passant par $A$ et changeant la pente générer tous les solutions rationnelles.
Merci.

gai requin · July 2020

L'hyperbole d'équation $2x^2-3y^2=1$ a-t-elle des points rationnels ?

Tonm · July 2020

Salut peut être non car l'équation $2x^2-z^2=3y^2$ n'a pas de solutions entières ($\pmod{3}$).

Ça y est.

LOU16 · July 2020

Bonjour,
Le théorème suivant, attribué à Legendre, et que je cite de mémoire, répond, me semble-t-il à la question:

$\text{Soient}\:a,b,c \in \N^*\:\text{ deux à deux premiers entre eux et sans facteurs carrés.}$
$\forall m ,n \in \N^*,\:\:\text{on note}:\: \:\:m\mathcal R n \iff m \:\text{est un carré modulo}\: n.\quad\text{Alors:}$
$$\exists (x,y,z) \in \N^3 \setminus \{(0;0;0)\}\: \text{tels que}\: ax^2+by^2 = cz^2 \iff -ab \mathcal R c,\:ac \mathcal R b, \:bc \mathcal R a.$$

Tonm · July 2020

Évidemment
Merci, n'a t-on pas par exemple à prouver sous des conditions de nombres coprimes $$bcx^2\mathcal{R}a\Leftrightarrow bc\mathcal{R} a$$

puis la preuve (à priori un seul sens) du dernier résultat.

Tonm · July 2020

Hors le topic que Lou16 fait référence.

Ce que j'ai fait est: $ax^2-by^2=c$ puis $(y=x+\alpha)$ remplacement et prenant le discriminant $\Delta$ en $x$ on aura $(\star) \, \,X^2-ab\alpha^2=c(a-b)$ avec $\Delta=4X^2$ carré.

Puisque on est là un truc que je crois archiconnu.
Dans $\star$ avec $ab=w^2p^2+p$ avec $w\in \mathbb{Q}$ et $p\in\mathbb{Z}$
Si vous prenez la matrice $A=\begin{pmatrix}2w^2p+1&2w(w^2p^2+p)\\2w&2w^2p+1\end{pmatrix}$ et avec $X_0$ une solution de $\star$, $AX_0$ sera une autre. C'est connu car c'est la solution d'une équation de Pell quand $w\in \mathbb{N}$.

EDIT

Une conique

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 30