Un ppcm estival

ppcm = produit.

Il me semble.

Salut,
Je trouve $84$.

Si on prend $a=3,b=36,c=112$ on a bien $\text{PGCD}(a,b)=3$ et $\text{PGCD}(b,c)=4$, et $abc=12096$.

Or, $a=3,b=2^2\times 3^2,112=2^4\times 7$ donc $\text{PPCM}(a,b,c)=2^4\times 3^2\times 7=1008$

PS:
S'il y a une seule réponse alors c'est $1008$.

Sauf erreur,

On a: $a=3a',b=12b',c=4c'$ avec $a',b'$ d'une part, et d'autre part $b',c'$ qui sont premiers entre eux.
Ce qui signifie que le ppcm cherché est inférieur ou égal à $12a'b'c'$* or $a'b'c'=\dfrac{12096}{12^2}=84$

$84=2^2\times 3\times 7$ cela ne laisse pas beaucoup de possibilités pour les triplets $(a',b',c')$.

le facteur $2$ ne peut pas diviser deux des nombres $a',b',c'$.
donc $4$ va apparaître dans la factorisation d'un de ces nombres.
Ainsi le ppcm de $a,b,c$ est $12\times 84=1008$.

*: il divise ce nombre mais il est multiple de $12$.

@noix de totos. Est-ce que tu n’aurais pas inversé les pgcd au numéroteur et au dénominateur ?

Désolé, je viens de comprendre mon erreur.

J'avais l'impression que la formule était incompatible avec la relation $\textrm{pgcd}(a,b,c)\times \textrm{ppcm}(a,b,c) = abc$ dans le cas où $a$, $b$ et $c$ sont premiers entre eux deux à deux, mais je me suis trompé. 8-)

Noix de Totos:

J'ai eu à traiter cet exercice en 1983, le jour du BAC et je me suis ramassé (sur cet exercice). :-D

A l'époque, en 1983, je n'avais jamais entendu parler du principe d'inclusion-exclusion ou alors cela ne m'a pas laissé un souvenir impérissable.

$\text{PGCD(a,b)}=\mu,\text{PGCD(b,c)}=\lambda,\text{PGCD(a,c)}=1$
donc: $a=\mu a',b=\mu b'=\lambda b",c=\lambda c'$ avec $\text{PGCD(a',b')}=\text{PGCD(b'',c')}=1$.
Puisque $a,c$ sont premiers entre eux alors $\mu$ et $\lambda$ sont premiers entre eux.
Ainsi, d'après le théorème de Gauss, il existe $b'''$ un entier tel que $b=\lambda\mu b'''$ et $\text{PGCD(a',b''')}=\text{PGCD(b''',c')}=\text{PGCD(a',c')}=1$.
Ainsi $\text{PPCM}(a,b,c)=\mu\lambda \text{PPCM}(a',b''',c')$* or, les nombres $a',b''',c'$ sont premiers entre eux deux à deux, donc $\text{PPCM}(a',b''',c')=a'b'''c'$.
Or, $abc=\mu a'\times \lambda\mu b'''\times\lambda c'$ donc $abc=\text{PPCM}(a,b,c)\times \text{PGCD(a,b)}\times \text{PGCD(b,c)}$

*: il faudrait plus d'explication à cette égalité.

Nodgim:
Je ne suis pas du tout satisfait (à cet instant) de ma rédaction.

Tu imagines l'impact psychologique sur le candidat: premier exercice: tu ne sais pas le faire proprement...
J'ai eu plus de dix à ce sujet (complet) de bac, d'autres questions étaient plus accessibles.
Je n'ai pas entendu parler de cette pétition à l'époque. J'ai obtenu le bac cette année-là, j'étais trop content (j'avais eu des notes calamiteuses en maths et sciences-physique à la session précédente).

Je pense que c'est mieux rédigé:

$\text{PGCD}(a,b)=\mu,\text{PGCD}(b,c)=\lambda,\text{PGCD}(a,c)=1$
donc: $a=\mu a',b=\mu b'=\lambda b",c=\lambda c'$ avec $\text{PGCD}(a',b')=\text{PGCD}(b'',c')=1$.
Puisque $a,c$ sont premiers entre eux alors $\mu$ et $\lambda$ sont premiers entre eux.
Ainsi, d'après le théorème de Gauss, il existe $b'''$ un entier tel que $b=\lambda\mu b'''$ et $\text{PGCD}(a',b''')=\text{PGCD}(b''',c')=\text{PGCD}(a',c')=1$.
Ainsi,
\begin{align} \text{PPCM}(a,b,c)&= \text{PPCM}\left(\text{PPCM}(a,c),b\right)\\
&=\text{PPCM}\left(ac,b\right)\\
&=\text{PPCM}\left(\mu a'\times \lambda c',\lambda\mu b'''\right)\\
&=\mu\lambda\text{PPCM}\left(a'c',b'''\right)\\
&=\mu\lambda a'\times c'\times b'''

\end{align} Or, $\displaystyle abc=\mu a'\times \lambda\mu b''' \times \lambda c'$
donc $abc= \text{PPCM}(a,b,c)\text{PGCD}(a,b)\text{PGCD}(b,c)$

Les propriétés suivantes ont été utilisées:
$a,b,c,d$ des entiers naturels non nuls.
1)$\displaystyle \text{PPCM}\left(a,b,c\right)=\text{PPCM}\left(\text{PPCM}\left(a,b\right),c\right)$
2)$\displaystyle \text{PPCM}\left(da,db,dc\right)=d\times\text{PPCM}\left(a,b,c\right)$
3) Si $a,b$ sont premiers entre eux alors $\displaystyle \text{PPCM}\left(a,b\right)=ab$
4) Si $a,b,c$ sont premiers entre eux, deux à deux, alors $ab$ et $c$ sont premiers entre eux.

Ceci se généralise à $n$ nombres entiers strictement positifs $a_1,a_2,...,a_n$, en désignant par $P_k$ le produit des $\binom n k $ PGCD des $n$ nombres pris $k$ à $k$ pour $k \in \{ 1,2,...,n \}$ : $PPCM (a_1,a_2,...a_n) = \frac {P_1 P_3...} {P_2 P_4...}$.

Comme dit Noix de Totos, c'est une application du principe d'inclusion-exclusion, remarquable et inattendu rapprochement entre deux domaines mathématiques différents. Une autre application de ce principe à l'arithmétique est l'une des démonstrations de la formule donnant la valeur de la fonction $ \varphi$ d'Euler.

Remarquons qu'on a encore une formule vraie en intervertissant PGCD et PPCM, comme dans le principe d'inclusion-exclusion on peut intervertir $\cap$ et $ \cup $.

Cette propriété pour 4 nombres est posée dans : Victor Lespinard, Roger Pernet, Arithmétique, Classe de Mathématiques élémentaires, Librairie André Desvigne, Lyon, 1957, exercice 67, p. 66. Ouvrage très moderne pour l'époque.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Ce script utilise l’idée d’exclusion-inclusion pour le calcul du ppcm et donne toute les solutions, il y en a douze :

#!/usr/bin/python3

from itertools import combinations

def pgcd(*args):
  if len(args)==0:
    return 1
  a=args[0]
  d=a
  for b in args[1:]:
    while b:
      d=b
      a,c=divmod(a,b)
      a,b=b,c
  return d

def ppcm(*args):
  n=len(args)
  p=1
  for i in range(1,n+1,2):
    for l in combinations(args,i):
      p*=pgcd(*l)
  for i in range(2,n+1,2):
    for l in combinations(args,i):
      p//=pgcd(*l)
  return p

for a in range(3,12096+1,3):
  for b in range(3,12096+1,3):
    c,r=divmod(12096,a*b):
    if r==0 and pgcd(a,b)==3 and pgcd(b,c)==4:
      print(ppcm(a,b,c),a,b,c)

On peut aussi utiliser le principe d'inclusion-exclusion pour démontrer la formule suivante attribuée à Legendre. En notant $r=\pi(\sqrt{x})$ et $p_1,p_2,\ldots,p_r$ les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{x} $
\begin{equation}
\pi(x) =\pi(\sqrt {x}) +\sum_{n \mid p_1\cdots p_r}\mu(n)\Big[\frac{x} {n} \Big] - 1.
\end{equation} ...

Calli a écrit:

Je suppose que c'est quelque chose d'assez courant en théorie des nombres (j'ai déjà entendu parler de "théorie probabiliste des nombres")

Oui, c'est tout à fait ça.

Mais le "vrai" cadre des méthodes de crible, en tout cas les méthodes de "crible combinatoire", est la combinatoire justement, et notamment les inégalités de Bonferroni données ici par exemple, qui généralisent le principe d'inclusion-exclusion.

Ce sont avec celles-ci que Brun, en 1918, a réussi à montrer que la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge. En clair, il est passé d'égalités (crible d'Érathostène-Legendre comme l'a rappelé df ci-dessus), à des inégalités...

Mon niveau en mathématiques est plutôt calamiteux. Pourtant, je viens de résoudre le problème initial en quelques minutes sur un coin de table.
Alors, je me demande si les forts en maths ne cherchent pas parfois «midi à quatorze heures», comme on dit en français.

Je ne sais pas si je dois me sentir visé par le message de Sneg, mais, en ce qui me concerne, j'ai simplement apporté quelques compléments, une activité que je fais souvent ici, la solution ayant été donnée, élémentairement, par plusieurs intervenants au-dessus.

Le point soulevé par Fin de Partie me semble important : il est toujours plus facile de répondre à une question après que plusieurs personnes ont donné des idées ou des solutions, que de répondre en premier !

Pardon, si quelqu’un s’est senti visé.

Dans mon maladroit message précédent, je ne faisais que m’étonner du fait d’avoir pu comprendre le problème posé par gai requin, dont je ne comprends jamais le moindre message vu la différence de niveau mathématique entre lui et moi.

En plus, il me plaisait de placer l’expression française « chercher midi à quatorze heures », dont je viens d’apprendre l’existence.

« Il n’y a pas de quoi fouetter un chat », j’espère.
(Je ne me lasse pas de toutes ces expressions. J'en ai un livre entier.)

Fin de partie a écrit:

les égalités:
$v_p(\textrm{ppcm}(a,b,c) ) = \gamma = \alpha + \beta + \gamma + \alpha -( \alpha + \beta + \alpha)$

ne sont pas tout à fait évidentes.

Le client est roi.

e.v.