Module et groupe d'idéaux
dans Arithmétique
Toujours pareil !
Je ne comprends décidément pas du tout comment on manipule ces objets.
C'est encore une question d'un exercice du Cox "prime ... x²+ny²"
$L$ est le corps de classe d'un ordre de conducteur $f$ d'un corps quadratique imaginaire $K$.
On suppose que l'idéal conducteur de $L/K$ est $\neq f{\cal O}_K$ (je ne pense pas que cela soit utile pour ma question)
On a $f{\cal O}_K={\frak p\,m}$ où $\frak m$ est divisible par l'idéal conducteur.
$I_K(f)$ est l'ensemble des idéaux fractionnaires premiers avec $f$.
$P_1({\frak m})$ est défini comme le groupe engendré par les idéaux principaux $\alpha {\cal O}_K$ avec $\alpha=1$ mod($\frak m$)
Donc si je ne me trompe pas ce sont les $\frac\alpha\beta{\cal O}_K$ avec $\alpha=\beta=1$ mod($\frak m$)
Ce qui n'est pas la définition que l'on rencontre aussi avec $\frac\alpha\beta=1$ mod($\frak m$)
Il faut maintenant prouver que $I_K(f)\cap P_1({\frak m})\subset P_{\Bbb Z}(f)$ ce dernier étant le groupe engendré par les idéaux principaux $\alpha {\cal O}_K$ avec $\alpha=a$ mod($\frak m$) où $a$ est un entier premier à $f$.
Je n'ai aucune idée ! Je ne comprends pas du tout comment on manie ces objets.
J'ai dit que $\alpha/\beta=\alpha\bar\beta/N(\beta)$, $N(\beta)$ n'est pas divisible par $p$ premier en dessous de $\frak p$
et puis... et puis et puis rien ... en fait je ne vois pas
Merci pour toute indication.
Je ne comprends décidément pas du tout comment on manipule ces objets.
C'est encore une question d'un exercice du Cox "prime ... x²+ny²"
$L$ est le corps de classe d'un ordre de conducteur $f$ d'un corps quadratique imaginaire $K$.
On suppose que l'idéal conducteur de $L/K$ est $\neq f{\cal O}_K$ (je ne pense pas que cela soit utile pour ma question)
On a $f{\cal O}_K={\frak p\,m}$ où $\frak m$ est divisible par l'idéal conducteur.
$I_K(f)$ est l'ensemble des idéaux fractionnaires premiers avec $f$.
$P_1({\frak m})$ est défini comme le groupe engendré par les idéaux principaux $\alpha {\cal O}_K$ avec $\alpha=1$ mod($\frak m$)
Donc si je ne me trompe pas ce sont les $\frac\alpha\beta{\cal O}_K$ avec $\alpha=\beta=1$ mod($\frak m$)
Ce qui n'est pas la définition que l'on rencontre aussi avec $\frac\alpha\beta=1$ mod($\frak m$)
Il faut maintenant prouver que $I_K(f)\cap P_1({\frak m})\subset P_{\Bbb Z}(f)$ ce dernier étant le groupe engendré par les idéaux principaux $\alpha {\cal O}_K$ avec $\alpha=a$ mod($\frak m$) où $a$ est un entier premier à $f$.
Je n'ai aucune idée ! Je ne comprends pas du tout comment on manie ces objets.
J'ai dit que $\alpha/\beta=\alpha\bar\beta/N(\beta)$, $N(\beta)$ n'est pas divisible par $p$ premier en dessous de $\frak p$
et puis... et puis et puis rien ... en fait je ne vois pas
Merci pour toute indication.
Réponses
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Normalement $P_1(\mathfrak m)$ désigne bien les idéaux principaux engendrés par des éléments de $K$ de la forme $\frac{\alpha}{\beta} \equiv 1 \text{ mod } \mathfrak{m}_f$, où $\mathfrak{m}_f$ désigne la partie finie de $\mathfrak m$ et $\sigma\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) > 0$ pour toute place réelle $\sigma$ divisant $\mathfrak m$. Ici il me semble que ton $\mathfrak m$ est déjà fini, je me trompe ?
Dans tous les cas, $1$ est premier avec $f$ non ? :-D -
Je pense aussi que $\frak m$ est fini.
En tout cas il n'est pas question de place infinie dans l'exercice
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Bonjour!
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