Une fonction arithmétique
dans Arithmétique
Bonjour à tous,
En travaillant sur un problème, j'ai dû introduire une fonction $\mathbb{Q}_{>0} \to \mathbb{N}$ définie par $$
\frac{a}{b} \longmapsto \prod\limits_{p \text{ premier}} p^{\max(0,v_p(a)-v_p(b))},
$$ où $v_p$ est la valuation $p$-adique.
Ça me semble être un objet plutôt naturel, alors je me demande s'il a déjà un petit nom et une notation. L'avez-vous déjà croisé quelque part ?
En travaillant sur un problème, j'ai dû introduire une fonction $\mathbb{Q}_{>0} \to \mathbb{N}$ définie par $$
\frac{a}{b} \longmapsto \prod\limits_{p \text{ premier}} p^{\max(0,v_p(a)-v_p(b))},
$$ où $v_p$ est la valuation $p$-adique.
Ça me semble être un objet plutôt naturel, alors je me demande s'il a déjà un petit nom et une notation. L'avez-vous déjà croisé quelque part ?
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Réponses
La fonction de Seirios réalise $1/b \to 1$. Ce qui n'est pas la hauteur de $1/b$. Enfin pas celle du chapitre VIII du premier ouvrage de Silverman.
Je ne te comprends toujours pas et même moins qu'avant.
1. Je suppose que dans ton dernier post, tu voulais dire $a \over b$ au lieu de $b \over a$. Note : dans ton premier post, tu as mentionné $a \over b$.
2. Es tu d'accord avec le fait que la fonction de Seirios réalise $1/b \to 1$ ? I.e. je fais $a=1$. Et 1, c'est rarement égal à $\max(a=1,b)$, non ?
3. Un extrait de la section 2 du papier de Pazuki que tu as pointé.
Finalement la fonction de Seirios associe au rationnel $\frac{a}{b}$ le nombre $\frac{H\left(\frac{b}{a}\right)}{\max\left(1, \left|\frac{b}{a}\right|\right)}$. Dans ton cas $\frac{1}{b}$ on retrouve bien $1$ :-)
A. Es tu d'accord avec le fait que $H(a/b) = H(b/a) = \max(a,b)$ ? $H$ étant la hauteur de Pazuki, qui est la même que celle de Silverman, qui est la même que celle de Silverman-Tate ...etc...
B. Je recopie l'expression que TU donnes de la fonction de Seirios en $a/b$, en utilisant le fait que $a, b > 0$ :
$$
{H(b/a) \over \max(1, b/a)} = {\max(a,b) \over \max(1,b/a)} = {a\max(1,b/a) \over \max(1,b/a)} = a
$$Tiens, la fonction de Seirios ne dépendrait pas de $b$ ? Et serait simplement $a/b \mapsto a$ ?
Je me permets de faire un bilan.
A. MrJ : je n'ai pas fait attention à ton post et je m'en excuse.
B. Poirot nous a un tantinet égaré avec cette histoire de fonction hauteur.
C. Mais surtout, Seirios est un taquin qui a voulu nous tester en nous demandant si la fonction sur $\Q_{>0}$ définie par $a/b \mapsto a$ était connue (précision : il est entendu que $a \wedge b = 1$). Et Mrj lui a répondu que c'était la fonction numérateur.
Il cache bien son jeu, le gars Seirios. Pourquoi ``ce gars'' au fait, je n'en sais rien.