Une fonction arithmétique

Poirot
La fonction de Seirios réalise $1/b \to 1$. Ce qui n'est pas la hauteur de $1/b$. Enfin pas celle du chapitre VIII du premier ouvrage de Silverman.

Si on réécrit $p^{\max(0, v_p(a)-v_p(b))}$ en $\max(1, \left|\frac{b}{a}\right|_p)$ (où $| \cdot |_p$ désigne la valeur absolue $p$-adique), on voit que ça correspond en fait à la hauteur de $\frac{b}{a}$ (cf. ce poly de Fabien Pazuki https://www.math.u-bordeaux.fr/~abesheno/heights.pdf Section 2).

Poirot,
Je ne te comprends toujours pas et même moins qu'avant.

1. Je suppose que dans ton dernier post, tu voulais dire $a \over b$ au lieu de $b \over a$. Note : dans ton premier post, tu as mentionné $a \over b$.
2. Es tu d'accord avec le fait que la fonction de Seirios réalise $1/b \to 1$ ? I.e. je fais $a=1$. Et 1, c'est rarement égal à $\max(a=1,b)$, non ?
3. Un extrait de la section 2 du papier de Pazuki que tu as pointé.

Un truc que je ne comprends toujours pas. Ci-dessous, $a,b$ sont deux entiers $> 0$ premiers entre eux.

A. Es tu d'accord avec le fait que $H(a/b) = H(b/a) = \max(a,b)$ ? $H$ étant la hauteur de Pazuki, qui est la même que celle de Silverman, qui est la même que celle de Silverman-Tate ...etc...

B. Je recopie l'expression que TU donnes de la fonction de Seirios en $a/b$, en utilisant le fait que $a, b > 0$ :
$$
{H(b/a) \over \max(1, b/a)} = {\max(a,b) \over \max(1,b/a)} = {a\max(1,b/a) \over \max(1,b/a)} = a
$$Tiens, la fonction de Seirios ne dépendrait pas de $b$ ? Et serait simplement $a/b \mapsto a$ ?

MrJ (et Poirot et Seirios). Oui j'avais bien vu ton post mais j'ai lu le l'ai lu trop vite. Mais c'est bien sûr, car on a soit $v_p(a) = 0$ soit $v_p(b) = 0$.
Je me permets de faire un bilan.

A. MrJ : je n'ai pas fait attention à ton post et je m'en excuse.

B. Poirot nous a un tantinet égaré avec cette histoire de fonction hauteur.

C. Mais surtout, Seirios est un taquin qui a voulu nous tester en nous demandant si la fonction sur $\Q_{>0}$ définie par $a/b \mapsto a$ était connue (précision : il est entendu que $a \wedge b = 1$). Et Mrj lui a répondu que c'était la fonction numérateur.

Il cache bien son jeu, le gars Seirios. Pourquoi ``ce gars'' au fait, je n'en sais rien.