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Conjecture de Legendre

AitJosephAitJoseph
dans Arithmétique
Après débat avec un professeur de Fac.

1) Soit n un entier, peut on trouver un premier entre n au carré et (n+1) au carré ?
2) Sinon, quels sont les n qui vérifient cette propriété ?

Merci

Réponses

  • Fin de partieFin de partie
    AitJoseph:

    Si tu résous ton 1) tu seras, me semble-t-il, sur le chemin de devenir une sommité en théorie des nombres. B-)
  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    En $13$ ans, tu aurais pu apprendre à écrire $n^2$ et $(n+1)^2$ !!
    Sinon, je n'ai pas la réponse à ta question.
    On peut seulement remarquer que la série des $\dfrac{1}{n^2}$ converge alors que celle des $\dfrac{1}{p}$ diverge, ce qui n'amène pas à grand chose.

    Cordialement,

    Rescassol
  • CalliCalli
    Bonjour,
    En regardant sur Wikipédia, j'ai vu que l'hypothèse de Riemann implique $\pi(x)={\rm li}(x)+O(\sqrt x\ln x)$, ce qui donne pour $\alpha>2$ $$\displaystyle\pi((n+1)^\alpha)-\pi(n^\alpha) = \int_{n^\alpha}^{(n+1)^\alpha} \frac{{\rm d}t}{\ln t} +O(n^{\alpha/2}\ln n) \underset{\alpha>2}\geqslant \frac{(n+1)^\alpha-n^\alpha}{\ln(n+1)} +o\left(\frac{n^{\alpha-1}}{\ln n} \right) \longrightarrow +\infty.$$ Donc à partir d'un certain rang, il y a toujours un nombre premier entre $n^\alpha$ et $(n+1)^\alpha$.
    Mais pour $\alpha=2$, ça ne marche pas :-(. Sans parler de l'hypothèse de Riemann que j'ai admise...
  • PoirotPoirot
    Conjecture de Legendre.
  • CalliCalli
    Donc le fil portait bien son nom. :-D

    Je ne comprends pas cette phrase dans l'article Wikipédia sur la conjecture de Legendre : "Le théorème des nombres premiers implique que le nombre réel de nombres premiers entre n² et (n + 1)² est asymptotique à n/ln(n)". Ça veut dire que $\pi((n+1)^2)-\pi(n^2)\sim \frac{n}{\ln n}$ ? D'où sort cet équivalent ?
  • [Utilisateur supprimé][Utilisateur supprimé]
    juste comme cela en passant

    soit $1<\{n_a \in \N\}$
    $p_x \in \{2,3,5,7,11,13,17,.....p_{x_{ieme}}\} $, tel que: $p_{x_{ieme}}\leqslant \sqrt{n_a}$
    si $\forall p_{x_{i}},(n_a)mod(p_{x_{i}})\ne 0$ alors $n_a$ est un nombre premier.


    $ R_{p_{y}}=\left( \begin{array}{rcr}
    \ne 0\\
    \ne 0\\
    \ne 0\\
    \ne 0\\
    \ne 0\\
    \ne 0\\
    \end{array}\right)$

    construire l'ensemble le plus proche et différent puis conclure,je sais ...

    cdl remy
  • PoirotPoirot
    Si on connaissait cet équivalent, il n'y aurait plus de conjecture de Legendre. Je ne sais pas ce qu'ils cherchent à dire avec cette phrase.
  • PoirotPoirot
    Ah je pense que je vois (c'est très mal dit sur la page Wikipedia) : si on remplace grossièrement $\pi(n)$ par le terme principal du théorème des nombres premiers, on obtient "l'équivalent" de $\pi((n+1)^2)-\pi(n^2)$ en question. Bien sûr il faut justement faire attention à la taille du reste comme tu l'as expliqué ci-dessus.
  • AitJosephAitJoseph
    @Rescassol
    tu es méchant
    En neuf ans tu aurais pu voir vite que cette conjecture est fausse. [*** modéré. AitJoseph, modère tes qualificatifs ! AD].
  • CalliCalli
    Merci Poirot. Donc Wikipédia a dit un peu n'importe quoi sur ce point, c'est ce qui me semblait. On a $\pi((n+1)^2)\sim\pi(n^2)$ donc le TNP donne juste $\pi((n+1)^2)-\pi(n^2)=o(\frac{n}{\ln n})$.
    Edit : $o(\frac{n^2}{\ln n})$
  • PoirotPoirot
    Non, le TNP donne $$\pi((n+1)^2)-\pi(n^2)=o(\frac{n^2}{\ln n}).$$
  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    AitJoseph, je n'ai fait que te reprocher ton refus d'utiliser un minimum de $\LaTeX$.
    Quant à la conjecture, je ne suis pas suffisamment arithméticien pour en dire plus.

    Cordialement,

    Rescassol
  • noix de totosnoix de totos
    Je complète ce qui a été dit au-dessus pour indiquer où en est la recherche actuelle sur ce problème :

    1. Démonstration de la conjecture hors de portée pour le moment, même sous l'hypothèse de Riemann (HR) ; on sait cependant qu'elle est vraie pour presque tout entier $n \geqslant 1$.

    2. Soit $N \geqslant 1$. Pour tout $\varepsilon > 0$ et tout intervalle $\left[n^2 \, , \, (n+1)^2 \right] \subset [1,N]$, avec au plus $\ll N^{1/4+\varepsilon}$ exceptions, la conjecture est vraie ; sous HR, on peut remplacer $\ll N^{1/4+\varepsilon}$ par $\ll f(N) \log^2 N$ pour toute fonction $f(x) \to \infty$ arbitrairement lentement.

    3. Soit $N \geqslant 1$ et on suppose l'hypothèse de Lindelöf. Pour tout $\varepsilon > 0$ et tout intervalle $\left[n^2 \, , \, (n+1)^2 \right] \subset [1,N]$, avec au plus $\ll N^{\varepsilon}$ exceptions, la conjecture est vraie. Plus récemment, le même auteur qui a montré ça a réussi à affaiblir l'hypothèse de Lindelöf, c'est-à-dire que la conclusion persiste si l'on remplace Lindelöf par une hypothèse plus faible que Lindelöf entraîne. Voir [1].

    Références.

    [1]. D. Bazzanella, Primes between consecutive squares and the Lindelöf hypothesis, Periodica Math. Hungarica 66 (2013), 111--117. Disponible en ligne.
  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    AitJoseph, je constate, après mon message précédent, que tout ce que tu trouves à faire, c'est m'insulter en MP, ce qui ne prouve pas ton intelligence, à défaut de conjecture. Tu devrais peut-être consulter ...

    Cordialement,
    Rescassol
  • CalliCalli
    Oui, pardon Poirot, j'ai oublié le carré.
  • SylvainSylvain
    J'ai peut-être une idée sur la conjecture de Legendre, j'essaie de creuser ça ce week-end et je vous en reparle le cas échéant.
  • SylvainSylvain
    Rapidement en espérant que le saké n'ait pas un effet trop délétère sur la pertinence de mon propos : sous la conjecture de Goldbach, notons $r_{0}(n)$ pour tout entier $n$ composé assez grand le plus petit entier $r$ strictement positif tel que $n-r$ et $n+r$ soient tous deux premiers. On note $k_{0}(n)$ la quantité qu'on appellera "ordre de centralité de $n$" définie comme étant égale à $\pi(n+r_{0}(n))-\pi(n-r_{0}(n))$, et on dira que $n$ est $k$-central si et seulement si $k_{0}(n)=k$. Notons $\mathcal{D}_{k}(n)$ le nombre d'entiers $k$-centraux dans l'intervalle $]n^2,(n+1)^2[$ et $\mathcal{M}_{cent}(n)$ l'ordre de centralité maximal d'un entier de cet intervalle. Pour $n\in\{3,4,5\}$, on a $\mathcal{M}_{cent}(n)=n-1$ et la fonction $m\mapsto k_{0}(m)$ atteint les $n$ valeurs $0, 1,\cdots n-1$, chaque valeur étant atteinte environ $2$ fois. Il serait intéressant de mener à la fois des investigations théoriques et des expérimentations numériques plus poussées afin de déterminer si cette tendance se confirme pour tous les $n$ assez grands, et notamment de donner un équivalent de $\mathcal{D}_{k}(n)$, étudier s'il dépend ou non de $k$, ainsi qu'un équivalent de $\mathcal{M}_{cent}(n)$. Ce serait à mon avis un premier pas suggérant que modulo l'hypothèse que ces quantités sont bien définies (d'où l'assomption de la conjecture de Goldbach, qui semble se révéler moins "gratuite" et "inutile" qu'on ne pourrait le penser de prime abord), il existe effectivement toujours un nombre premier, donc un entier $0$-central, entre deux carrés consécutifs.
  • LEGLEG
    Poirot écrivait:
    Non, le TNP donne $\quad\pi((n+1)^2)-\pi(n^2)=o(\dfrac{n^2}{\ln n}).$

    Donc on peut admettre que le nombre de nombres premiers entre deux carrés consécutifs vaut environ , $$\frac{n}{\ln (2n)}$$ fonction qui est une conséquence directe du TNP. Heuristiquement c'est toujours vrai ... ça s'explique assez bien avec le nombre de nombres premiers qu'il y a entre $n$ et $2n$.

    il y a entre $100^2$ et son double : $\ \dfrac{10000}{\ln\:(20000)}\ $ environ : $1009$ nombres premiers pour 41 carrés consécutifs si on prend le dernier carré $141^2 < 20 000$
    Cela donne une moyenne de $1009 / 41 = 24$ nombres premiers entre deux carrés consécutifs de $n =100$ à $141$
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