Plus grand diviseur commun unique ?
dans Arithmétique
Bonjour
Je lis un ouvrage sur l'arithmétique.
Il y a un passage que je ne comprends pas. J'ai bien conscience que ce n'est pas l'essentiel de la leçon mais je voudrais être en mesure de tout comprendre si c'est possible.
J'ai fait des photos des passages du livre afin que ce soit plus clair.
Le chapitre est "arithmétique dans un anneau principal". La partie pour laquelle je vous écris porte sur le plus grand diviseur commun.
Sur la 1ère image il y a une proposition (la 4.2). L'auteur fournit la preuve et c'est bon pour moi.
A est un anneau principal.
Ensuite vient le passage qui me bloque (la 2de photo) et qui fait suite à la 1ère proposition.
Quand l'auteur dit "notons que D n'est pas unique..." : pour moi D est le plus grand diviseur commun donc s'il y en a un autre alors il n'est plus le plus grand diviseur commun, ce n'est pas logique ; je ne comprends pas que le plus grand diviseur ne soit pas unique.
À moins qu'il ne fasse référence à l'inverse de D mais ce n'est pas précisé.
En quoi le fait que u soit inversible nous amène à cette conclusion ?
Comment en arrive-t-il à DA = (uD)A ? Je ne comprends pas la phrase d'explication ("en effet ...).
Le passage conclut en disant qu'on obtient tous les autres plus grands diviseurs communs de a et b en multipliant D par les éléments inversibles de A. Je ne trouve pas d'exemple avec les nombres relatifs qui illustre ça. En avez-vous un s'il vous plaît ?
Pouvez-vous m'aider à y voir plus clair avec toutes ces questions s'il vous plaît ?
Je vous remercie de m'avoir lu et pour l'aide que vous voudrez bien m'apporter.
Je lis un ouvrage sur l'arithmétique.
Il y a un passage que je ne comprends pas. J'ai bien conscience que ce n'est pas l'essentiel de la leçon mais je voudrais être en mesure de tout comprendre si c'est possible.
J'ai fait des photos des passages du livre afin que ce soit plus clair.
Le chapitre est "arithmétique dans un anneau principal". La partie pour laquelle je vous écris porte sur le plus grand diviseur commun.
Sur la 1ère image il y a une proposition (la 4.2). L'auteur fournit la preuve et c'est bon pour moi.
A est un anneau principal.
Ensuite vient le passage qui me bloque (la 2de photo) et qui fait suite à la 1ère proposition.
Quand l'auteur dit "notons que D n'est pas unique..." : pour moi D est le plus grand diviseur commun donc s'il y en a un autre alors il n'est plus le plus grand diviseur commun, ce n'est pas logique ; je ne comprends pas que le plus grand diviseur ne soit pas unique.
À moins qu'il ne fasse référence à l'inverse de D mais ce n'est pas précisé.
En quoi le fait que u soit inversible nous amène à cette conclusion ?
Comment en arrive-t-il à DA = (uD)A ? Je ne comprends pas la phrase d'explication ("en effet ...).
Le passage conclut en disant qu'on obtient tous les autres plus grands diviseurs communs de a et b en multipliant D par les éléments inversibles de A. Je ne trouve pas d'exemple avec les nombres relatifs qui illustre ça. En avez-vous un s'il vous plaît ?
Pouvez-vous m'aider à y voir plus clair avec toutes ces questions s'il vous plaît ?
Je vous remercie de m'avoir lu et pour l'aide que vous voudrez bien m'apporter.
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Réponses
Pas de contradiction, des nombres peuvent se diviser les uns les autres. Comme 2 et -2 ; tout multiple de 2 est un multiple de -2, tout multiple de -2 est un multiple de 2.
Dès la deuxième phrase du 4.2., c'est dit " .. un plus grand ...".
Cordialement.
Ici l'auteur fait exclusivement référence à la relation "divise".
Pour un exemple où la confusion n'est pas possible, prendre $A=R[X]$ ($R$: anneau commutatif quelconque).
Si $D$ est un plus grand diviseur commun à $P$ et $Q$, alors $uD$ l'est aussi, pour tout inversible $u$ de $R$.
Golgoth 37.
Justement i.zitoussi je ne comprends pas bien ta dernière phrase. Peut-être que je me rattache à des exemples trop basiques (par exemple, avec les nombres 100 et 35, le plus grand diviseur commun est 5. En multipliant 5 par un nombre inversible (disons 2) on obtient 10 qui n'est pas un diviseur de 15. Et avec -2 c'est la même chose.
Vraiment merci pour votre aide.
Le PGCD de $35$ et $100$ dans cet anneau n'est pas unique. Il y a exactement deux entiers qui peuvent revendiquer le titre de PGCD de $35$ et $100$, les nombres $-5$ et $5$.
Dans l'anneau $\mathbb{Z}$ les unités (les éléments qui ont un inverse multiplicatif) sont les nombres $-1,1$.
tu vas trop vite en besogne. Je ne t'ai pas donné un exemple d'inversible, mais un exemple de deux nombres qui se divisent l'un l'autre.
Tu devrais reprendre posément ton livre, avec pour commencer un exemple d'anneau ($\mathbb Z$ si tu veux, puis un anneau plus compliqué (par exemple $\mathbb R[X], que tu dois assez bien connaître), et enfin penser vraiment le cas d'un anneau quelconque, que tu ne connais pas, tu ne connais que les propriétés de base (en particulier qu'il est principal).
Cordialement.
Pour Chaurien, le livre s'appelle "Arithmétique et cryptologie". Il y a 10 chapitres, j'en suis au 4ème...
Bailly-Maitre Gilles, Arithmétique et cryptologie, Ellipses 2012
Tout à fait Chaurien, c'est bien celui-là.
https://www.editions-ellipses.fr/accueil/941-arithmetique-et-cryptologie-9782729874889.html
Ouvrage sympathique si j'en juge par le sommaire et l'extrait qu'on peut trouver sur Internet, le premier chapitre, historique, qui évoque Jules César, les Templiers, Blaise de Vigenère, Babbage, Kasiski, du moins dans les quelques pages qui nous sont communiquées comme appât.
Dans une France normale, un concours de cryptographie devrait s'appeler Vigenère.
Je pense que je vais m'offrir ce livre pour occuper mon mois d'août : 29 € c'est correct.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
L'auteur est sympa lui aussi. Voir sa chaîne YT. Et puis j'adore ses blagues à deux balles ! :)o
(ce n'est pas moi).
John Wayne tu as l'air de bien connaître l'auteur ;-) . Merci pour sa chaîne YouTube, j'ignorais et je la regarde désormais. Il y a un max de vidéos, c'est vraiment bien.
Cryptanalysis: a study of ciphers and their solution de Helen Fouché Gaines (la première édition de ce livre est datée de 1939)
(il existe une édition de ce livre chez Dover, que je possède, mais on trouve aussi une édition électronique )
On trouve des systèmes (ou des variantes) de chiffrements moins connus que les Vigenère, Beaufort, Playfair, code dit César.