Carré parfait
dans Arithmétique
Bonsoir !
Voilà un problème proposé par un de mes élèves je ne sais où est-ce qu'il l'a trouvé.
Déterminer les entiers naturels n et m tels que 2n + 3m soit un carré parfait.
Merci.
Voilà un problème proposé par un de mes élèves je ne sais où est-ce qu'il l'a trouvé.
Déterminer les entiers naturels n et m tels que 2n + 3m soit un carré parfait.
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Réponses
En regardant ce que cela donne modulo 3 et 4 tu peux montrer que l'unique solution est (4,2).
- modulo 3 -> on montre que n doit être pair
- modulo 4 -> on montre que m doit être pair
- on peut finir en factorisant dans l'équation de départ
oui j'avais déjà remarqué que ce couple est solution mon problème était de justifier que c'est la seule solution
Merci(tu)(tu)
En tout cas, je pensais que ce serait rapide en posant $n=2k$ et $m=2\ell$, puis en écrivant
\[2^{2k}= x^2 - 3^{2\ell}=\left(x-3^\ell\right)\left(x+3^\ell\right)\quad\text{avec}\quad x\in\Z,\]
mais ensuite je tourne en rond... Est-ce que j'ai loupé quelque chose?
3^m = a² - 1 = ( a - 1 ) ( a + 1)
1 seule solution : a = 2 puisque a-1 et a+1 ne peuvent être tous les 2 des multiples de 3.
n = 1
2 + 3^m = 4a²+4a+1 ( puisque a impair)
1 + 3^m = 4a ( a + 1) = 0 [8]
Or 3^m = 1 ou 3 [8] donc pas de solution
n=2
3 + 3^m = 4 a ( a + 1) = 0 [8]
Or 3^m = 1 ou 3 [8] donc pas de solution
n >= 3
2^n - 1 + 3^m = 0 [8] implique 3^m = 1 [8] implique m pair implique 3^m est un carré
2^n = a² - (3^m')² = (a-3^m') ( a + 3^m') implique
a+3^m' = 2^k ( a- 3^m')
3^m' ( 2^k+1) = a ( 2^k-1)
Or 2^k-1 premier avec 2^k+1 implique 2^k -1 divise 3^m'.
Vrai seulement pour k = 2 ( a = 5 ; m = 2 et n = 4 )
Dans ma rédaction, je suis aussi arrivé à une relation de la forme $3^\ell = 2^k-1$ avec $(k,\ell)\in\N^2$, mais je n'arrive pas à voir un argument prouvant qu'elle implique $(k,\ell)\in\{(1,0), (2,1)\}$. Je vais y réfléchir.
Édit : En fait, il suffit de regarder l'équation $2^k-3^\ell =1$ modulo $8$ pour vérifier que ses solutions sont $\{(1,0), (2,1)\}$.