Carré parfait

petipa · July 2020

Bonsoir !
Voilà un problème proposé par un de mes élèves je ne sais où est-ce qu'il l'a trouvé.

Déterminer les entiers naturels n et m tels que 2ⁿ + 3^m soit un carré parfait.

Merci.

ThomasB23 · July 2020

Bonsoir !

En regardant ce que cela donne modulo 3 et 4 tu peux montrer que l'unique solution est (4,2).
- modulo 3 -> on montre que n doit être pair
- modulo 4 -> on montre que m doit être pair
- on peut finir en factorisant dans l'équation de départ

petipa · July 2020

salut Thomas
oui j'avais déjà remarqué que ce couple est solution mon problème était de justifier que c'est la seule solution
Merci(tu)(tu)

Chaurien · July 2020

Bravo (tu) mais si $n$ et $m$ sont entiers naturels il y a aussi $2^0+3^1=2^2$.

ThomasB23 · July 2020

Effectivement, il y a alors aussi $2^3 + 3^0 = 3^2$

MrJ · July 2020

Une fois que l'on a montré que $m$ et $n$ sont pairs (si $n\geq 2$), est-ce long d'aboutir à la solution $(4,2)$?

En tout cas, je pensais que ce serait rapide en posant $n=2k$ et $m=2\ell$, puis en écrivant
\[2^{2k}= x^2 - 3^{2\ell}=\left(x-3^\ell\right)\left(x+3^\ell\right)\quad\text{avec}\quad x\in\Z,\]
mais ensuite je tourne en rond... Est-ce que j'ai loupé quelque chose?

nodgim · July 2020

n = 0

3^m = a² - 1 = ( a - 1 ) ( a + 1)

1 seule solution : a = 2 puisque a-1 et a+1 ne peuvent être tous les 2 des multiples de 3.

n = 1

2 + 3^m = 4a²+4a+1 ( puisque a impair)

1 + 3^m = 4a ( a + 1) = 0 [8]
Or 3^m = 1 ou 3 [8] donc pas de solution

n=2

3 + 3^m = 4 a ( a + 1) = 0 [8]
Or 3^m = 1 ou 3 [8] donc pas de solution

n >= 3

2^n - 1 + 3^m = 0 [8] implique 3^m = 1 [8] implique m pair implique 3^m est un carré
2^n = a² - (3^m')² = (a-3^m') ( a + 3^m') implique
a+3^m' = 2^k ( a- 3^m')
3^m' ( 2^k+1) = a ( 2^k-1)
Or 2^k-1 premier avec 2^k+1 implique 2^k -1 divise 3^m'.
Vrai seulement pour k = 2 ( a = 5 ; m = 2 et n = 4 )

MrJ · July 2020

Merci nodgim pour ta solution.

Dans ma rédaction, je suis aussi arrivé à une relation de la forme $3^\ell = 2^k-1$ avec $(k,\ell)\in\N^2$, mais je n'arrive pas à voir un argument prouvant qu'elle implique $(k,\ell)\in\{(1,0), (2,1)\}$. Je vais y réfléchir.

Édit : En fait, il suffit de regarder l'équation $2^k-3^\ell =1$ modulo $8$ pour vérifier que ses solutions sont $\{(1,0), (2,1)\}$.

Carré parfait

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