Problème sympa

Oui le résultat final [large]a[/large] de la gueule. C'est encore l'équation de Fermat-***
Si je ne me suis pas trompé dans les calculs les deux suivants sont $337 $ et $65~521$.
Voir les https://oeis.org/A001075 qui sont $\equiv 3 \pmod 4$.
Bonne nuit.
Fr. Ch.

Et grâce à OEIS le suivant est $12~710~881$, et ainsi de suite, merci OEIS.

Explication.
L'équation $\frac {n(n+1)(2n+1)}{6n}=p^2$ s'écrit : $(4n+3)^2-3(4p)^2=1$ ce qui est une équation classique de Fermat-*** : $x^2-3y^2=1$.
Les solutions positives de cette équation sont les couples $ (x_m,y_m)$, $m \in \mathbb N$, donnés par : $x_m+y_m \sqrt 3=(2+\sqrt 3)^m$. Ce sont les suites https://oeis.org/A001075 et https://oeis.org/A001353 de l'OEIS.
Il reste à sélectionner les $x_m$ de la forme $4n+3$ : c'est pour les $ m\equiv 2 \pmod 4$, et l'on a les $n=\frac {x_m-3}4$.

[$\LaTeX$ fournit la commande \pmod{xx} $\pmod{xx}$ (parenthesis modulo), qui gère les espacements. AD]