$p=x^2+11y^2$ ou le discriminant quad. $-44$

$\def\OK{\mathcal O_K}\def\OE{\mathcal O_E}\def\Cl{\text{Cl}}\def\Dfond{D_{\rm fond}}\def\S{\mathfrak S}\def\Gal{\text{Gal}}\def\f{\mathfrak f}\def\SL{\text{SL}}\def\U{\mathbb U}\def\fp{\mathfrak p}\def\fa{\mathfrak a}\def\fb{\mathfrak b}\def\F{\mathbb F}$Suite aux posts http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,2039170,2061266#msg-2061266 et http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,2039170,2061410#msg-2061410, je préfère ouvrir ce fil (qui risque de se réduire à ce seul post). Il s'agit d'y coucher quelques éléments autour de $p = x^2 + 11y^2$ résultant de notre travail agité avec moduloP alias FlipFlop sur le forum ces dernières années. Ce n'est pas facile de donner des références. Il y a bien entendu le livre de Cox. Mais également des articles bien trop compliqués pour nous autres (moduloP et mézigue) mais grâce auxquels on a quand même réussi à illustrer quelques bricoles.

En particulier, Ernst Kani in https://mast.queensu.ca/~kani/papers/theta.pdf, https://www.mast.queensu.ca/~kani/papers/thetaCM2r.pdf, https://mast.queensu.ca/~kani/papers/2013K.pdf, https://mast.queensu.ca/~kani/lectures/Bintheta2.pdf (doublons : preprints versus versions publiées).

En ce qui concerne l'utilisation des fonctions de Weber : ``Weber's class invariants revisited'' de Reinhard Schertz in http://www.numdam.org/article/JTNB_2002__14_1_325_0.pdf ou https://jtnb.centre-mersenne.org/article/JTNB_2002__14_1_325_0.pdf. Il y a également le papier ``On the singular values of Weber Modular functions'' de Yui & Don Zagier https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1090/S0025-5718-97-00854-5/fulltext.pdf

Rien n'est facile et c'est la jungle, chacun pour soi.

Je ne mentionne pas Deligne/Serre concernant les formes modulaires de poids 1 et représentations galoisiennes car cela (me) fait trop peur et que je serais bien incapable de sélectionner les bons papiers. Peut-être quand même le papier fourni par un certain Nonoche du forum: Modular forms of weight one and Galois representations, J.P. Serre (collaboration with Bushnell), Algebraic Number Fields, A. Frölich ed. Academic Press, 1977. Oups, j'ai failli oublier ``On a theorem of Jordan'' de Serre in https://sms.math.nus.edu.sg/smsmedley/Vol-29-1/On a Theorm of Jordan (Jean-Pierre Serre).pdf et l'histoire du discriminant $-23$ du polynôme $X^3- X - 1$ par lequel beaucoup de choses ont commencé.

A quand un exposé pour des enfants ?

$\bullet$ Anneaux quadratiques imaginaires (Gauss). Le discriminant de $x^2 + 11y^2$ est $D = -44 = f^2 \times (-11)$ avec $f = 2$ et $-11 \equiv 1 \bmod 4$ (discriminant quadratique fondamental) de sorte que l'anneau des entiers du corps quadratique $K = \Q(\sqrt {-11})$ est $\OK = \Z[w]$ avec
$$
w = {\pm 1 \pm \sqrt {-11} \over 2}
$$Mais ce n'est pas cet anneau qui intervient mais le sous-anneau $A_D = \Z[2w] = \Z[\sqrt{-11}]$ d'indice $2$ dans $\OK$, unique anneau quadratique de discriminant $D=-44$. Il y a, à $\SL_2(\Z)$-équivalence près, 3 formes quadratiques de discriminant $-44$ :
$$
q_0 = (1,0,11) = x^2 + 11y^2, \qquad q_1 = (3,2,4) = 3x^2 + 2xy + 4y^2, \qquad \overline {q_1} = (3,-2,4) = 3x^2 - 2xy + 4y^2
$$Equivalent à dire que le groupe des classes d'idéaux inversibles de cet anneau $A_D$, groupe que je note $\Cl(D)$ dans la suite, est d'ordre 3. Il y a une correspondance biunivoque entre classes de formes quadratiques (primitives) de discriminant $D$ et classes d'idéaux inversibles de $A_D$.

Note : quant à l'anneau $\OK = \Z[w]$, il est principal. Il fait partie de la liste des 9 anneaux principaux parmi les anneaux d'entiers des corps quadratiques imaginaires. Cela va apporter une simplification ci-dessous : $K^{\rm Hilbert} = K$.

On s'intéresse au problème de représentation d'un premier par une des 3 formes quadratiques. Il est clair que $q_1$ et $\overline {q_1}$ représentent les mêmes entiers. Ce n'est pas trés difficile de voir qu'un premier $p$ est représenté par $q_0$ ou $q_1$ si et seulement si $-11$ est un carré modulo $p$, ce qui revient à $p$ carré modulo 11 i.e. $p \mod 11 \in \{1,3,4,5,9\}$. Problème beaucoup plus difficile : à quelle condition un premier $p$ est représenté par $q_0$ ?

$\bullet$ Intervenants au niveau corps de classes (ici, extensions abéliennes d'un corps quadratique imaginaire). Ca c'est plus difficile. Je mets à gauche la structure générale où $\Dfond$ est un discriminant quadratique négatif fondamental et $D$ de la forme $D = f^2 \Dfond$. A droite, c'est le cas particulier $\Dfond = -11$, $D = -44$.
$$
\xymatrix {
K^{(D)} \ar@/_1.2cm/@{-}[dd]_{\Cl(D)}\ar@{-}[d] \\
K^{\rm Hilbert}\ar@{-}[d]^{\Cl(\OK)} \\
K = \Q(\sqrt {D}) = \Q(\sqrt {\Dfond}) \ar@{-}[d] \\
\Q \\
}
\qquad\qquad\qquad\qquad
\xymatrix @R = 2cm @C = 0.8cm {
&K^{(-44)} = E^{\rm gal.} = \Q(x, \sqrt {-11}) \ar@{-}[dl]_2 \ar@{-}[dr]^{C_3} \ar@{-}[dd]|{\S_3} \\
E = \Q(x)\ar@{-}[dr]_3 & &K = \Q(\sqrt{-11}) \ar@{-}[dl]^2 \\
&\Q \\
}
$$Je ne vais pas être bavard sur le Graal $K^{(D)}$ : ring class field de l'anneau quadratique $A_{D}$, noix de toto en a parlé un peu. C'est en particulier une extension abélienne de $K$ dont le groupe de Galois est canoniquement isomorphe à $\Cl(D)$ via l'application d'Artin. A droite, avec $D = -44$, c'est ce corps, extension abélienne (ici $C_3$-cyclique) de $K$ qui fait le job pour $p = x^2 + 11y^2$. On va voir plus loin de quel job exact je parle (il est encadré ci-dessous). Ce qu'il faut comprendre c'est que $K^{(D)}$, en plus d'être une extension abélienne de $K$, est une extension galoisienne de $\Q$. Pour $D=-44$, de groupe de Galois est $\S_3$ et $E$ désigne le corps des points fixes par une transposition.

La première chose à faire c'est d'attraper UN (bon) $x$ tel que $\OE= \Q(x)$. Il y en a plusieurs et certains sont meilleurs que d'autres. Note : comme le groupe symétrique $\S_3$ possède 3 transpositions, il y a par points fixes, 3 corps intermédiaires entre $\Q$ et $K^{(-44)}$ isomorphes à $E$ (je compte $E$ dedans).

Il faudrait que j'explique que ce n'est pas $x$ qui est important mais $\OE$. Tout anneau d'entiers de corps de nombres est une $\Z$-algèbre de présentation finie et de ce fait définit un système d'équations à coefficients entiers que l'on appelle un schéma de dimension 0 défini sur $\Z$. On peut y opérer de la réduction modulo $p$, et même sur tout corps fini, et on obtient ainsi un nombre fini de points. Pour $p$ fixé, la fonction de comptage de $\OE$ (du schéma de) dans tous les $\F_{p^n}$ est importante. Elle est liée à la fonction zeta de Dedekind de ce corps de nombres. Par exemple le nombre de points modulo $p$ du schéma est le nombre $\nu_E(p)$ d'idéaux premiers de $\OE$ de norme $p$. Et quand $\OE$ est monogène, $\OE = \Z[x] = \Z[X]/\langle W\rangle$ ($W$ polynôme minimal de $x$ sur $\Q$), le schéma est défini par le seul polynôme unitaire $W$ à coefficients entiers, c'est $\{\xi \mid W(\xi) = 0\}$, et le nombre de points modulo $p$ du schéma est $N_p(W)$ avec l'égalité:
$$
\fbox {$N_p(W) = \nu_E(p)$} \qquad \text{i.e. nombre de racines de } W \bmod p = \text{nombre d'idéaux de } \OE \text { de norme } p
$$
$\bullet$ Intervenants au niveau du demi-plan de Poincaré. A toute forme quadratique $Q = (a,b,c)$ de discriminant $D = b^2 - 4ac < 0$ est associé un habitant $\tau_Q$ du demi-plan de Poincaré
$$
\tau_Q = {- b + \sqrt D \over 2a}
$$Les fonctions analytiques/modulaires permettent d'attraper le polynôme minimal d'un $x$ comme mentionné auparavant. Il y a le polynôme d'Hilbert $H_D$ du discriminant $D=-44$ que noix de toto a donné. Mais en général, c'est un monstre qu'il faut mieux éviter d'utiliser. Il est préférable d'utiliser le polynôme de Weber $W_D$ du discriminant $D$ : la $\Q$-extension engendrée par une racine de $H_D$ est égale (isomorphe) à la $\Q$-extension engendrée par une racine de $W_D$. Pour $D=-44$, voir la différence entre les deux polynômes.

Il y a trois fonctions de Weber notées $\f, \f_1, \f_2$ qui participent à l'élaboration des polynômes de Weber. ICI, pour $D = -44$:
$$
W = X^3 - 2X^2 + 2X -2 = \big(X - \f(\tau_{q_0})\big) \big(X - \zeta_{48}^{-11} \f_1(\tau_{q_1})\big) \big(X - \zeta_{48}^{11} \f_1(\tau_{\overline{q_1}})\big)
$$C'est compliqué! Et pour $D$ quelconque, ça l'est encore plus: cela dépend de congruences de $D$ modulo 32 et du fait que $3$ divise $D$ ou pas, cf l'exposé de Schertz et autres. Difficile d'en dire plus dans ce post.

[color=#000000]> D := -44 ;
> H := HilbertClassPolynomial(D) ;
> H ;
X^3 - 1122662608*X^2 + 270413882112*X - 653249011576832  <--- MONSTRE
> W<X>, R<t> := WeberClassPolynomial(D) ;
> assert W eq X^3 - 2*X^2 + 2*X - 2 ;
> assert R eq (t^24 - 16)^3 / t^24 ;
[/color]

Le polynôme $W$ possède un immense avantage arithmétique : son discriminant est $-44$ et il est sans garbage i.e. $\OE = \Z[x]$ où $x$ est l'une de ses racines. On va pouvoir en déduire, sans aucune exception, pour tout premier $p$, l'équivalence suivante qui fait partie du job de $K^{(-44)} = \Q(x,\sqrt {-11})$
$$
\fbox {$p = x^2 +11 y^2 \iff W \text{ est totalement décomposé mod. } p \iff [-11 \text{ est un carré mod. } p \text{ et } W \text{ admet une racine mod. } p]$}
$$Le ``sans aucune exception'' est dû au fait que la factorisation de $W$ modulo $p$, c'est pareil que la factorisation de $p$ dans $\OE$. Attention à $p=11$ pour lequel la factorisation modulo $p$ de $W$ est $(X+5)(X+2)^2$: 3 racines dans $\F_{11}$ si on tient compte des multiplicités.
En notant $r_Q(n)$ le nombre de représentations $(x,y) \in \Z \times \Z$ de $n$ par la forme quadratique $Q = Q(x,y)$, on a :
$$
2(N_p(W) - 1) = r_{(1,0,11)}(p) - r_{(3,2,4)}(p)
\qquad\qquad \text{ou encore} \qquad\qquad
\fbox{$N_p(W) - 1 = {1 \over 2} \big( r_{(1,0,11)}(p) - r_{(3,2,4)}(p) \big)$}
$$J'ai noté $N_p(W)$ le nombre de racines modulo $p$ de $W$. Il faut prendre son temps pour décortiquer ce que donne cette formule. Prenons celle de gauche non encadrée ; que peut valoir son membre de gauche ? Combien au maximum de racines d'un polynôme de degré 3 ? Et son membre droit ? Réfléchir à la question : quand est ce que deux formes de même discriminant représentent un même premier ? Et pour une forme, un premier est représenté de combien de manières ? ...etc..
Pour aider, je montre la série :
$$
\Theta_{Q}(q) = \sum_{n \ge 0} r_Q(n) q^n = 1 + r_Q(1) q + r_Q(2) q^2 + \cdots \qquad \qquad Q = (1,0,11)
$$

[color=#000000]> QD := BinaryQuadraticForms(D) ;
> ClassNumber(QD) ;
3
> RFQD := ReducedForms(QD) ;
> RFQD ;
[ <1,0,11>, <3,-2,4>, <3,2,4> ]
> q0 := QD![1,0,11] ; q1 := QD![3,2,4] ;
> Tq0 := ThetaSeries(q0, precision) ;
> Tq0 ;
1 + 2*q + 2*q^4 + 2*q^9 + 2*q^11 + 4*q^12 + 4*q^15 + 2*q^16 + 4*q^20 + 2*q^25 + 4*q^27 + 6*q^36 + 2*q^44 + 4*q^45 + 
    4*q^47 + 4*q^48 + 2*q^49 + 4*q^53 + 8*q^60 + 2*q^64 + 4*q^69 + 4*q^75 + 4*q^80 + 2*q^81 + 4*q^92 + 4*q^93 + 2*q^99 +
    6*q^100 + 4*q^103 + 8*q^108 + 4*q^111 + 4*q^115 + 2*q^121 + 4*q^124 + 4*q^125 + 4*q^132 + 4*q^135 + 6*q^144 + 
    4*q^148 + 4*q^155 + 4*q^163 + 4*q^165 + 2*q^169 + 2*q^176 + 4*q^177 + 12*q^180 + 4*q^185 + 4*q^188 + 4*q^192 + 
    2*q^196 + 4*q^199 + 4*q^201 + 4*q^207 + 4*q^212 + 4*q^213 + 4*q^220 + 6*q^225 + 4*q^236 + 8*q^240 + 4*q^243 + 
    2*q^256 + 4*q^257 + 4*q^267 + 4*q^268 + 4*q^269 + 2*q^275 + 8*q^276 + 4*q^279 + 4*q^284 + 2*q^289 + 4*q^291 + 
    4*q^295 + 4*q^297 + 12*q^300 + O(q^301)
> &+[Coefficient(Tq0,p)*q^p : p in PrimesInInterval(2,precision-1)] ;
2*q^11 + 4*q^47 + 4*q^53 + 4*q^103 + 4*q^163 + 4*q^199 + 4*q^257 + 4*q^269
[/color]

La dernière ligne est limitée aux $r_Q(p) q^p$ avec $p$ premier : on y voit que quand $p$ est représenté par $q_0$, il l'est de 4 manières sauf pour $p = 11$ qui n'a que 2 représentations $(x,y) = (0, \pm 1)$ par $q_0$.

Idem pour la $\Theta$-série associée à la forme $q_1 = (3,2,4)$ : quand $p$ est représenté par $q_1$, il l'est de 2 manières. Et un premier ne peut pas être à la fois représenté par $q_0$ et $q_1$.

[color=#000000]> Tq1 := ThetaSeries(q1, precision) ;
> Tq1 ;
1 + 2*q^3 + 2*q^4 + 2*q^5 + 2*q^9 + 4*q^12 + 2*q^15 + 2*q^16 + 4*q^20 + 2*q^23 + 2*q^25 + 2*q^27 + 2*q^31 + 2*q^33 + 
    6*q^36 + 2*q^37 + 2*q^44 + 4*q^45 + 4*q^48 + 2*q^55 + 2*q^59 + 8*q^60 + 2*q^64 + 2*q^67 + 2*q^69 + 2*q^71 + 4*q^75 +
    4*q^80 + 4*q^81 + 2*q^89 + 4*q^92 + 2*q^93 + 2*q^97 + 2*q^99 + 6*q^100 + 8*q^108 + 2*q^111 + 2*q^113 + 2*q^115 + 
    4*q^124 + 2*q^125 + 4*q^132 + 6*q^135 + 2*q^137 + 4*q^141 + 6*q^144 + 2*q^147 + 4*q^148 + 2*q^155 + 2*q^157 + 
    4*q^159 + 2*q^165 + 2*q^176 + 2*q^177 + 2*q^179 + 12*q^180 + 2*q^181 + 2*q^185 + 4*q^188 + 2*q^191 + 4*q^192 + 
    2*q^196 + 2*q^201 + 4*q^207 + 4*q^212 + 2*q^213 + 4*q^220 + 2*q^223 + 6*q^225 + 2*q^229 + 4*q^235 + 4*q^236 + 
    8*q^240 + 4*q^243 + 2*q^245 + 2*q^251 + 2*q^253 + 2*q^256 + 4*q^265 + 2*q^267 + 4*q^268 + 2*q^275 + 8*q^276 + 
    4*q^279 + 4*q^284 + 2*q^291 + 2*q^295 + 2*q^297 + 12*q^300 + O(q^301)
> &+[Coefficient(Tq1,p)*q^p : p in PrimesInInterval(2,precision-1)] ;
2*q^3 + 2*q^5 + 2*q^23 + 2*q^31 + 2*q^37 + 2*q^59 + 2*q^67 + 2*q^71 + 2*q^89 + 2*q^97 + 2*q^113 + 2*q^137 + 2*q^157 + 
    2*q^179 + 2*q^181 + 2*q^191 + 2*q^223 + 2*q^229 + 2*q^251
[/color]

Bref, en se concentrant, on finit par s'assurer que les deux encadrés ci-dessus sont équivalents.

De plus, $W$ étant le polynôme minimal de $x$ et grâce au fait que $\OE = \Z[x]$, les Shadocks qui comptaient nous informent de
$$
\fbox {$N_p(W) = \nu_E(p)$} \qquad \text{i.e. nombre de racines de } W \bmod p = \text{nombre d'idéaux de } \OE \text { de norme } p
$$
$\bullet$ Comportement de $W_D$ modulo $p$ pour quelques premiers $p$.

[color=#000000]> P := PrimesInInterval(2,2*10^2) ;     
> [p : p in P | #Roots(W, GF(p)) eq 0] ;
[ 3, 5, 23, 31, 37, 59, 67, 71, 89, 97, 113, 137, 157, 179, 181, 191 ]
> [p : p in P | #Roots(W, GF(p)) eq 1] ;
[ 2, 7, 13, 17, 19, 29, 41, 43, 61, 73, 79, 83, 101, 107, 109, 127, 131, 139, 149, 151, 167, 173, 193, 197 ]
> [p : p in P | #Roots(W, GF(p)) eq 3] ;
[ 47, 53, 103, 163, 199 ]
[/color]

$\bullet$ Le caractère de Hecke $\chi_3$ sur $K = \Q(\sqrt D)$ obtenu comme un caractère cubique sur $\Cl(D)$. Ou encore combinaison des séries $\Theta$ des formes quadratiques via le caractère cubique $\chi_3$ sur $\Cl(D)$. Il faut voir ${1\over 2}\big(r_{q_0}(p) - r_{q_1}(p)\big)$ qui intervient dans l'encadré à droite ci-dessus comme un coefficient d'une série que je note $S_{\chi_3}$:
$$
S_{\chi_3}(q) :=
{1\over {w_D}}(\Theta_{q_0} - \Theta_{q_1}) =
{1\over {w_D}}\big(\chi_3(q_0)\Theta_{q_0} + \chi_3(q_1)\Theta_{q_1} + \chi_3(\overline{q_1}) \Theta_{\overline{q_1}}\big)
$$où $w_D = 2$ est le nombre d'unités de l'anneau $A_D$ et $\chi_3$ le caractère cubique $\Cl(D) \to \U_3$ défini par (ici $j$ c'est la racine cubique de l'unité habituelle, pas l'invariant modulaire $j$).
$$
\chi_3(q_0) = 1,\quad \chi_3(q_1) = j,\quad \chi_3(\overline{q_1}) = j^2
$$C'est bien la même chose puisque $\Theta_{q_1} = \Theta_{\overline{q_1}}$ et $j + j^2 = -1$.
Mais pourquoi faut-il procéder ainsi? Parce qu'il va y avoir de la fumette du côté des $L$-séries, des représentations galoisiennes et du monde modulaire. Kani peut aider à condition de s'accrocher (longtemps). Une mini-mini contribution dans la petite note attachée.
$$
S_{\chi_3}(q) = \sum_\fa \chi_3(\fa)\, q^{N(\fa)} = \sum_\fa \chi_3(\fb)\, q^{N(\fb)}
$$où $\fa$ parcourt les idéaux inversibles de $A_D$ tandis que $\fb$ parcourt les idéaux de $\OK$ premiers au conducteur $f\OK$. Quand à $N$, c'est la norme d'un idéal i.e. le cardinal de l'anneau résiduel de l'idéal. En ce qui concerne $\chi_3(\fa)$ du côté de $A_D$, c'est $\chi_3([\fa])$ où $[\fa]$ est la classe de $\fa$ dans le groupe des classes d'idéaux inversibles de $A_D$. Du côté de $\OK$, un peu près pareil, cf la note.

Il faut fabriquer le caractère $\chi_3$ de Hecke sur $\OK$ qui réalise $I_{q_1}\OK \to j$ où $I_{q_1}$ est l'idéal de $A_D$ associé à la forme quadratique $q_1 = (3,2,4)$. On profite du fait que cet idéal est premier au conducteur $f\OK$. Avec ce binz, on fabrique une $L$-série. Je fatigue à vouloir expliquer.

[color=#000000]> // Hecke cubic character Cl(D) -> U_3 ~ Z/3Z  q1 --> j in U_3 ~ 1 in Z/3Z
> f := 2 ;
> fOK := f*OK ;
> // q1 = (a,b,c) = (3,2,4) -->  Iq1 = a*Z oplus 1/2*(-b+Sqrt(D))*Z   D = b^2-4ac,  r = \/-11
> Iq1 := a*OK + 1/2*(-b + f*r)*OK where a is 3 where b is 2 ;
> chi3 := HeckeCharacter(fOK, <<Iq1, ResidueClassRing(3)!1>>) ;
> Lchi3 := LSeries(chi3) ;
> Schi3<q> := Qq!FormalSeries(Lchi3,precision) ;
> Schi3 + O(q^50) ;
q - q^3 - q^5 + q^11 + q^15 - q^23 + q^27 - q^31 - q^33 - q^37 + 2*q^47 + q^49 + O(q^50)
> 1/2 * (Tq0 - Tq1) + O(q^50) ;
q - q^3 - q^5 + q^11 + q^15 - q^23 + q^27 - q^31 - q^33 - q^37 + 2*q^47 + q^49 + O(q^50)
[/color]

Remarque : on voit l'adéquation entre les deux séries. A noter que tout ce fourbi se passe au niveau de l'anneau quadratique $A_D$ ou du corps quadratique $K = \Q(\sqrt D)$ si l'on veut.

$\bullet$ D'autres intervenants au niveau des $L$-séries mais cette fois du côté du corps cubique $E/\Q$. Fonction zeta $\zeta_E(s)$ de Dedekind d'un corps de nombres $E/\Q$.
$$
\zeta_\Q(s) = \sum_{n \ge 1} {1 \over n^s} \qquad\qquad
\zeta_E(s) = \sum_{I \ne 0} {1 \over N(I)^s} = \prod_\fp {1 \over 1 - N(\fp)^{-s}} =
\sum_{n \ge 1} {\nu_E(n) \over n^s}
$$Ci-dessus $I$ parcourt l'ensemble des idéaux non nuls de $\OE$ si bien que $\nu_E(n)$ désigne le nombre d'idéaux de $\OE$ de norme $n$. Tandis que $\fp$ parcourt l'ensemble des idéaux premiers de $\OE$.

On définit de manière artificielle une $L$-série comme quotient de la fonction de Dedekind $\zeta_E$ de $E$ et de $\zeta_\Q$, que je baptise $L_{\rho_2}$, voir (??) pourquoi dans la suite.
$$
L_{\rho_2}(s) = {\zeta_E(s) \over \zeta_\Q(s)} = \sum_{n \ge 1} {a_n \over n^s} \qquad\qquad
\nu_E(n) = \sum_{d \mid n} a_d \qquad a_n = \sum_{d \mid n} \mu(n/d) \nu_E(d) \qquad\qquad
\begin {array}{l}
\text{en particulier pour } p \text { premier} \\
\fbox{$\nu_E(p) = 1 + a_p, \quad a_p = \nu_E(p) - 1$} \\
\end {array}
$$Et le truc de dingue réside dans l'égalité des $L$-séries $\fbox{$L_{\rho_2} = L_{\chi_3}$}$. I.e. les coefficients $a_n$ sont ceux de la série $\chi_3$-combinaison des $\Theta$-séries i.e. en termes de séries formelles en $q$ :
$$
S_{\rho_2}(q) = S_{\chi_3}(q) = \sum_{n \ge 1} a_n q^n
$$Et du coup pour $p$ premier:
$$
\nu_E(p) - 1 = \text{coeff}_p(S_{\chi_3}) \qquad \text{i.e.} \qquad
\fbox{$N_p(W) - 1 = \text{coeff}_p(S_{\chi_3}) =_{\rm def}{1 \over 2} \big( r_{(1,0,11)}(p) - r_{(3,2,4)}(p) \big)$}
$$L'égalité des séries $L_{\rho_2} = L_{\chi_3}$ est donc bien plus forte que le résultat sur la représentation de $p$ par la forme $q_0$.
Lire Kani, relire Kani ...etc... Et aussi Cox, Section 9, sous-section D, Ring Class Fields and Generalized Dihedral extensions, en particulier le théorème 9.18 de Bruckner. Le résultat de Bruckner caractérise, pour un corps quadratique imaginaire $K$ fixé, les extensions abéliennes $L/K$ contenues dans un ``ring class field'' $K^{(D)}$.

$\bullet$ Intervenants au niveau des représentations galoisiennes. Le nom $\rho_2$ ci-dessus provient du fait qu'il y a une unique représentation irréductible de dimension 2 du groupe symétrique $\S_3$ (la représentation hyperplane), que je note $\rho_2$. Et le fait qu'ici $\S_3$ cela soit $\Gal(K^{(D)} / K)$ est un producteur d'arithmétique. La série $L_{\rho_2}$ c'est la $L$-série de cette représentation galoisienne. Relire Kani encore et toujours.

Il faudrait prendre le temps de raconter comment chacun peut se créer une $\rho_2$-fumette en prenant comme point de départ une extension cubique $E/\Q$ telle que le discriminant $D$ de $\OE$ soit $< 0$. Ceci donne naissance d'une part au corps quadratique imaginaire $K := \Q(\sqrt D)$ et d'autre part à la fermeture galoisienne $L/\Q$ de $E/\Q$ de groupe de Galois $\S_3$.
$$
\xymatrix @C = 1cm {
&L = E^{\rm gal.}\ar@{-}[dl]_2 \ar@{-}[dr]^{C_3} \ar@{-}[dd]|{\S_3} \\
E \ar@{-}[dr]_3 & &K = \Q(\sqrt{D}) \ar@{-}[dl]^2 \\
&\Q \\
}
$$Tout est prêt pour s'amuser: une représentation galoisienne $\rho_2$ de $L/\Q$, le fait que $L \subset K^{(D)}$ et un caractère cubique sur $\Cl(D)$
$$
\chi_3 : \Gal(K^{(D)}/K) \simeq \Cl(D) \twoheadrightarrow \Gal(L/K) \simeq C_3
$$S'amuser avec la $L$-série de $\rho_2$, celle de $\chi_3$ ...etc...

Mais ce n'est pas la seule manière de créer de la $\rho_2$-fumette. On peut partir d'une discriminant quadratique $D< 0$ dont le groupe de classes $\Cl(D)$ posséde un sous-groupe d'indice $3$. Chaque sous-groupe $H$ d'indice $3$ donne naissance à un caractère cubique $\chi_3 : \Cl(D) \twoheadrightarrow \Cl(D)/H$. La théorie de Galois appliqué à $K^{(D)}/K$ où $K = \Q(\sqrt D)$, fournit une extension intermédiaire
$$
K \subset L \subset K^{(D)}
$$telle que $L/K$ soit 3-cyclique et $L/\Q$ galoisienne de groupe $\S_3$ ..etc... Et il n'y a pas que le groupe $\S_3 = D_3$. Le même genre de scénario peut être réalisé avec le groupe diédral $D_n$ pour $n \ge 3$.

$\bullet$ Intervenants au niveau du monde modulaire. Il s'agit de l'espace des formes modulaires $M_1(\Gamma_0(|D|), \chi_D)$ où $\chi_D$ est le caractère de Kronecker de $D = -44$. $S_{\rho_2}$ est aussi un $\eta$-produit à cause de l'étroitesse du sous-espace cuspidal $S_1(\Gamma_0(|D|), \chi_D)$ de dimension 1 : deux habitants dans un espace vectoriel de dimension 1 sont linéairement liés ...etc..
$$
\eta(q) = q^{1\over 24} \prod_{n \ge 1} (1-q^n) \qquad\qquad\qquad
S_{\rho_2}(q) = \eta(q^2)\eta(q^{22}) = q \prod_{n \ge 1} (1-q^{2n}) (1-q^{22n})
$$

[color=#000000]> Qq<q> := PowerSeriesRing(RationalField()) ;  
> AssertAttribute(Qq, "Precision", precision) ;
> // Yves Martin Multiplicative eta-quotients, Transac. Amer. Math. Soc. Vol 348, number 2 Dec. 1996
> EtaProduit := DedekindEta(q^2) * DedekindEta(q^22) ;       
> Qq!(Srho2 - EtaProduit) ;
O(q^303)
[/color]

Pour $D=-44$, $M_1(\Gamma_0(|D|), \chi_D)$ est de dimension 4 et on y retrouve les séries des deux formes quadratiques $q_0$ et $q_1$.

[color=#000000]> Gamma := DirichletGroup(Abs(D)) ;  
> chiD := Gamma ! KroneckerCharacter(D) ;
> assert Modulus(chiD) eq Abs(D) and Conductor(chiD) eq 11 ;
> M := ModularForms(chiD, 1) ;
> assert Dimension(M) eq 4 ;
> f1, f2, f3, f4 := Explode(Basis(M)) ;
> Tq0 - f1 - 2*f2 ; 
O(q^301)
> Tq1 - f1 - 2*f4 ;
O(q^301)
> // Donc Tq0 + Tq1 + Tq1^-1 = Tq0 + 2*Tq1 in M_1(Gamma0(|D|, chi_D) 
> // Tq0 + 2*Tq1 = f1 + 2*f2 + 2*(f1 + 2*f4) = 3*f1 + 2*f2 + 4*f4
> Tq0 + 2*Tq1 - (3*f1 + 2*f2 + 4*f4) ;
O(q^301)
[/color]

Comme déjà mentionné, on retrouve également $S_{\rho_2}$ dans le sous-espace cuspidal $S_1(\Gamma_0(|D|), \chi_D)$ qui lui est de dimension 1.

[color=#000000]> S := CuspidalSubspace(M) ;
> assert Dimension(S) eq 1 ;
> f := Explode(Basis(S)) ;
> Srho2 - qExpansion(f,precision) ;
O(q^300)
[/color]

Fin (provisoire ?) de l'histoire un tantinet décousue de $p = x^2 + 11y^2$ ou du discriminant quadratique $-44$.