Problème d'arithmétique

Bonjour à tous.

Voici un problème très simple mais que je ne parviens pas complètement à saisir.

Je suis tout d'abord tombé par hasard sur la suite remarquable suivante :

$4\times 3=12$ et $7\times 3=21$
$4\times 6=24$ et $7\times 6=42$
$4\times 9=36$ et $7\times 9=63$
$4\times 12=48$ et $7\times 12=84$
$4\times 15=60$ et $7\times 15=06+99$
etc.

On observe que les chiffres des résultats obtenus modulo 99 sont inversés dès lors qu'on multiplie un multiple de $3$ par $4$ ou par $7$.

J'arrive plus ou moins à l'expliquer pour les quatre premiers à l'aide des égalités suivantes mais au-delà, je ne comprends pas bien pourquoi l'intervention du modulo $99$ (et pas $100$ par exemple).

\[4\times 3k=10k+2k \qquad \text{ et } \qquad 7\times 3k=10\times 2k+k\]

La proposition pourrait aussi se formuler par :

$12k[99]$ et $21k[99]$ ont leurs chiffres échangés entre unités et dizaines.