Petit défi du mois d'août ?

Bravo, JLT, très bien vu !

On peut même :

(i) Donner un terme d'erreur :

\begin{align*}
\sum_{u \leqslant x} \frac{1}{u} \sum_{\substack{u < v \leqslant x \\ (u,v)=1}} \frac{1}{v} &= \sum_{u \leqslant x} \frac{1}{u} \sum_{d \mid u} \frac{\mu(d)}{d} \sum_{u/d < k \leqslant x/d} \frac{1}{k} \\
&= \sum_{u \leqslant x} \frac{1}{u} \sum_{d \mid u} \frac{\mu(d)}{d} \left( \log \frac{x}{d} + O \left( \frac{d}{x} \right) \right ) \\
&= \sum_{u \leqslant x} \frac{\varphi(u)}{u^2} \left( \log x + \sum_{p \mid u} \frac{\log p}{p-1} \right) + O \left( \sum_{u \leqslant x} \frac{2^{\omega(u)}}{u^2} \right) \\
& = O \left( \log^2 x \right).
\end{align*}

(ii) Essayer de connaître une partie de $C$ :

\begin{align*}
C &= \sum_{v = 1}^\infty \frac{1}{v^2} \sum_{\substack{u \leqslant v \\ (u,v)=1}} \frac{1}{u} - 1 \\
&= \sum_{v = 1}^\infty \frac{1}{v^2} \sum_{d \mid v} \frac{\mu(d)}{d} \sum_{k \leqslant v/d} \frac{1}{k} - 1 \\
&= \sum_{v = 1}^\infty \frac{1}{v^2} \sum_{d \mid v} \frac{\mu(d)}{d} \left( \log \frac{v}{d} + \gamma + r(v,d) \right)
\end{align*}
avec $\left| r(v,d) \right| \leqslant \frac{6d}{11v}$, et donc
$$C = \sum_{v=1}^\infty \frac{\varphi(v)}{v^3} \left( \log v + \gamma + \sum_{p \mid v} \frac{\log p}{p-1} \right) -1 + R$$
où
$$\left| R \right| \leqslant \frac{6}{11} \sum_{v=1}^\infty \frac{2^{\omega(v)}}{v^3} = \frac{6 \zeta(3)^2}{11 \zeta(6)} \approx 0,7747.$$
En développant un peu plus
$$C = \frac{\gamma \zeta(2)}{\zeta(3)} - \frac{\zeta^{\, \prime}(2) \zeta(3)-\zeta(2) \zeta^{\, \prime}(3)}{\zeta(3)^2} + \sum_{v=1}^\infty \frac{\varphi(v)}{v^3} \left(\sum_{p \mid v} \frac{\log p}{p-1} \right)-1 \pm \frac{6 \zeta(3)^2}{11 \zeta(6)}.$$

La coquille aurait franchement été grosse, si ça avait été le cas, non ? Dis plus clairement : j'aurais un vrai gros problème mental si c'était une coquille. Mais peut-être est-ce le cas, maintenant je d'août de tout...

Bon, dont acte.

Non, inutile : ce fil a été très bien résolu par JLT, que l'on peut encore une fois féliciter, et il va mourir de sa belle mort d'ici quelques heures...

Une petite extension de cet exercice pour ceux qui,veulent s'entraîner : si $f$ est une fonction arithmétique quelconque et $r \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ fixé, montrer
$$\sum_{n_1 \leqslant x} \dotsb \sum_{n_r \leqslant x} \frac{f \left( \textrm{pgcd}(n_1,\dotsc,n_r) \right)}{n_1 \dotsb n_r} = \sum_{d \leqslant x} \frac{(\mu \star f)(d)}{d^r} \left( \sum_{k \leqslant x/d} \frac{1}{k} \right)^r.$$
Exemple. Avec $r=2$ et $f(d) = d^2$, on obtient
$$\sum_{m \leqslant x} \sum_{n \leqslant x} \frac{\textrm{pgcd}(m,n)}{\textrm{ppcm}(m,n)} = \sum_{d \leqslant x} \frac{J_2(d)}{d^2} \left( \sum_{k \leqslant x/d} \frac{1}{k} \right)^2$$
où $J_2(n) = n^2 \prod_{p \mid n} \left( 1 - p^{-2} \right)$ est la seconde fonction arithmétique de Jordan.