Petit défi du mois d'août ?
Bonjour,
La semaine dernière, un collègue canadien m'a demandé un coup de main pour estimer la double somme $$
S(x) = \sum_{m \leqslant x} \sum_{n \leqslant x} \frac{\textrm{pgcd(m,n)}}{\textrm{ppcm(m,n)}}.
$$ Il est à noter que, si l'on connaît bien la somme "inversée", à savoir $$
\sum_{m \leqslant x} \sum_{n \leqslant x} \frac{\textrm{ppcm(m,n)}}{\textrm{pgcd(m,n)}} = \frac{\zeta(2)}{10} x^4 + O \left( x^3 \log x \right),
$$ on n'a pratiquement rien sur $S(x)$. J'ai donc pris un crayon, un papier, et je lui ai répondu quelques minutes plus tard.
Et vous, que lui auriez-vous dit ?
La semaine dernière, un collègue canadien m'a demandé un coup de main pour estimer la double somme $$
S(x) = \sum_{m \leqslant x} \sum_{n \leqslant x} \frac{\textrm{pgcd(m,n)}}{\textrm{ppcm(m,n)}}.
$$ Il est à noter que, si l'on connaît bien la somme "inversée", à savoir $$
\sum_{m \leqslant x} \sum_{n \leqslant x} \frac{\textrm{ppcm(m,n)}}{\textrm{pgcd(m,n)}} = \frac{\zeta(2)}{10} x^4 + O \left( x^3 \log x \right),
$$ on n'a pratiquement rien sur $S(x)$. J'ai donc pris un crayon, un papier, et je lui ai répondu quelques minutes plus tard.
Et vous, que lui auriez-vous dit ?
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Réponses
Je parie que la relation $\text{PGCD}(m,n)\text{PPCM}(m,n)=mn$ est une héroïne de l'histoire.
=x+2\sum_d\sum_{u\wedge v=1,du<dv\leqslant x}\dfrac{1}{uv}=x+2\sum_{u\wedge v=1,u<v\leqslant x}\dfrac{1}{uv}\times \lfloor \dfrac{x}{v}\rfloor$ donc
$\displaystyle S(x)\sim x+2x\sum_{u\wedge v=1,u<v\leqslant x}\dfrac{1}{uv^2}\sim (1+2C)x$
où $\displaystyle C=\sum_{u\wedge v=1, u<v}\dfrac{1}{uv^2}$ (cette série double converge mais je ne sais pas calculer sa somme).
On peut même :
(i) Donner un terme d'erreur :
\begin{align*}
\sum_{u \leqslant x} \frac{1}{u} \sum_{\substack{u < v \leqslant x \\ (u,v)=1}} \frac{1}{v} &= \sum_{u \leqslant x} \frac{1}{u} \sum_{d \mid u} \frac{\mu(d)}{d} \sum_{u/d < k \leqslant x/d} \frac{1}{k} \\
&= \sum_{u \leqslant x} \frac{1}{u} \sum_{d \mid u} \frac{\mu(d)}{d} \left( \log \frac{x}{d} + O \left( \frac{d}{x} \right) \right ) \\
&= \sum_{u \leqslant x} \frac{\varphi(u)}{u^2} \left( \log x + \sum_{p \mid u} \frac{\log p}{p-1} \right) + O \left( \sum_{u \leqslant x} \frac{2^{\omega(u)}}{u^2} \right) \\
& = O \left( \log^2 x \right).
\end{align*}
(ii) Essayer de connaître une partie de $C$ :
\begin{align*}
C &= \sum_{v = 1}^\infty \frac{1}{v^2} \sum_{\substack{u \leqslant v \\ (u,v)=1}} \frac{1}{u} - 1 \\
&= \sum_{v = 1}^\infty \frac{1}{v^2} \sum_{d \mid v} \frac{\mu(d)}{d} \sum_{k \leqslant v/d} \frac{1}{k} - 1 \\
&= \sum_{v = 1}^\infty \frac{1}{v^2} \sum_{d \mid v} \frac{\mu(d)}{d} \left( \log \frac{v}{d} + \gamma + r(v,d) \right)
\end{align*}
avec $\left| r(v,d) \right| \leqslant \frac{6d}{11v}$, et donc
$$C = \sum_{v=1}^\infty \frac{\varphi(v)}{v^3} \left( \log v + \gamma + \sum_{p \mid v} \frac{\log p}{p-1} \right) -1 + R$$
où
$$\left| R \right| \leqslant \frac{6}{11} \sum_{v=1}^\infty \frac{2^{\omega(v)}}{v^3} = \frac{6 \zeta(3)^2}{11 \zeta(6)} \approx 0,7747.$$
En développant un peu plus
$$C = \frac{\gamma \zeta(2)}{\zeta(3)} - \frac{\zeta^{\, \prime}(2) \zeta(3)-\zeta(2) \zeta^{\, \prime}(3)}{\zeta(3)^2} + \sum_{v=1}^\infty \frac{\varphi(v)}{v^3} \left(\sum_{p \mid v} \frac{\log p}{p-1} \right)-1 \pm \frac{6 \zeta(3)^2}{11 \zeta(6)}.$$
Je n'ai pas l'impression d'avoir été contre la charte, pourtant... :-S
AD n'a pas l'air très jeux de mots ;-). J'avais intitulé un autre fil "La Ferme des entiers naturels" en référence à La Ferme des animaux qui prend un F majuscule et il avait remplacé le F par un f minuscule (j'avais annulé sa modification en douce 8-)).
Bon, dont acte.
Ah, je n'ai pas vu le jeu de mots (et défi ne devait pas prendre de majuscule), c'est pourquoi j'ai modifié.
Veux-tu que je rétablisse le jeu de mots ?
AD
[Regarde le titre du 2ème message de la discussion. AD]
$$\sum_{n_1 \leqslant x} \dotsb \sum_{n_r \leqslant x} \frac{f \left( \textrm{pgcd}(n_1,\dotsc,n_r) \right)}{n_1 \dotsb n_r} = \sum_{d \leqslant x} \frac{(\mu \star f)(d)}{d^r} \left( \sum_{k \leqslant x/d} \frac{1}{k} \right)^r.$$
Exemple. Avec $r=2$ et $f(d) = d^2$, on obtient
$$\sum_{m \leqslant x} \sum_{n \leqslant x} \frac{\textrm{pgcd}(m,n)}{\textrm{ppcm}(m,n)} = \sum_{d \leqslant x} \frac{J_2(d)}{d^2} \left( \sum_{k \leqslant x/d} \frac{1}{k} \right)^2$$
où $J_2(n) = n^2 \prod_{p \mid n} \left( 1 - p^{-2} \right)$ est la seconde fonction arithmétique de Jordan.