Entiers de la forme $abc(c-a-b)$

i.zitoussi · August 2020

J'ai du mal à évaluer la difficulté de la question suivante. Je pense que c'est difficile, je n'ai pas la réponse et ce n'est pas un exercice.

Etant donnés 3 entiers (relatifs) $a$, $b$, et $c$, on note:
$$
D(a,b,c) := abc\, (c-a-b)
$$
$D$ est invariant sous $(a,b,c)\mapsto (b,a,c)$, ainsi que $(a,b,c)\mapsto (a,b,a+b-c)$, et $(a,b,c)\mapsto (-a,-b,-c)$.
Ces symétries de $D$ commutent deux à deux et sont d'ordre 2, ce qui fait un groupe d'odre 8 de transformations $(a,b,c)\mapsto (a',b',c')$ qui laissent $D$ invariant.

Donc la question est: existe-t-il deux triplets $(a,b,c)$ et $(a',b',c')$, non équivalents dans le sens ci-dessus, tels que
$$
D(a,b,c) = D(a',b',c').
$$

Un exemple suffit, mais si vous avez d'autres remarques je suis preneur.

NB: J'ai peut-être oublié des symétries évidentes de $D$. L'esprit, c'est que les examples ne doivent pas être "triviaux".

raoul.S · August 2020

lorsque tu dis "deux triplets $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ non équivalents" tu veux dire qu'aucune des symétries de $D$ que tu as décrite n'envoie $(a,b,c)$ sur $(a',b',c')$ ?

i.zitoussi · August 2020

Oui.

Amathoué · August 2020

$D(1,0,0)=D(0,0,1)$?

i.zitoussi · August 2020

Oui... J'aurais du préciser $D\neq 0$. Le fait que $0$ puisse être représenté une infinité de fois est à peu près évident!

Je répète le Nota Bene:

NB: J'ai peut-être oublié des symétries évidentes de D. L'esprit, c'est que les exemples ne doivent pas être "triviaux".

Amathoué · August 2020

L’exemple $D(1,n^2,1)=D(n,n,n)$ est-il trivial?

i.zitoussi · August 2020

Non, bon exemple. Merci.
Cependant je crois que j'ai mal formulé ma question, et je ne sais pas très bien comment la formuler.

i.zitoussi · August 2020

Je crois que ce que je voulais savoir c'est s'il existe des exemples accidentels, par opposition à celui que tu viens de donner.

Amathoué · August 2020

J’ai bien compris i.zitoussi, mais j’imagine que ton questionnement de départ ne consistait pas simplement à écrire différemment un relatif sous cette forme?

i.zitoussi · August 2020

Oui, il y a une raison derrière. $D$ est le discriminant pour une famille (indexée par $(a,b,c)$) de formes quadratiques binaires, et j'essayais de savoir combien de formes non équivalentes (pour l'action de $SL(2,\mathbb{Z}))$ ont le même discriminant, ce qui revient à factoriser un entier $d$ en $d=abc(c-a-b)$ de manières distinctes.

Je pense que pour $d$ suffisamment générique, il y en a au plus 8, et ton exemple montre que quand $d=-n^4$ il y en a d'autres. Il y a probablement plein d'autres exemples, j'aurais dû réfléchir un peu plus avant de poster.

nodgim · August 2020

Soit abc ( c - a - b ) = a' b' c' ( c' - a' - b' )

On pose a' = k a ; b' = j b et c' = i c

On obtient :

c = ( a ( 1- k² i j) + b (1 - k i j²) ) / ( 1 - k i² j )

qui peut donner des entiers, par exemple si k = i = 1

c = a + b ( 1 + j )

i.zitoussi · August 2020

Merci. Donc ça fait une famille d'exemples $(a,b,c) = (a,b,a+b+jb)$ couplé à $(a',b',c')=(a,jb, a+b+jb)$, pour tout $a$, $b$ et $j$.
Les factorisations correspondantes de $D$ s'obtiennent l'une de l'autre par permutation des facteurs:
$a\cdot b\cdot (a+b+jb)\cdot jb = a \cdot jb\cdot (a+b+jb)\cdot b$.

Entiers de la forme $abc(c-a-b)$

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