Entiers de la forme $abc(c-a-b)$
dans Arithmétique
J'ai du mal à évaluer la difficulté de la question suivante. Je pense que c'est difficile, je n'ai pas la réponse et ce n'est pas un exercice.
Etant donnés 3 entiers (relatifs) $a$, $b$, et $c$, on note:
$$
D(a,b,c) := abc\, (c-a-b)
$$
$D$ est invariant sous $(a,b,c)\mapsto (b,a,c)$, ainsi que $(a,b,c)\mapsto (a,b,a+b-c)$, et $(a,b,c)\mapsto (-a,-b,-c)$.
Ces symétries de $D$ commutent deux à deux et sont d'ordre 2, ce qui fait un groupe d'odre 8 de transformations $(a,b,c)\mapsto (a',b',c')$ qui laissent $D$ invariant.
Donc la question est: existe-t-il deux triplets $(a,b,c)$ et $(a',b',c')$, non équivalents dans le sens ci-dessus, tels que
$$
D(a,b,c) = D(a',b',c').
$$
Un exemple suffit, mais si vous avez d'autres remarques je suis preneur.
NB: J'ai peut-être oublié des symétries évidentes de $D$. L'esprit, c'est que les examples ne doivent pas être "triviaux".
Etant donnés 3 entiers (relatifs) $a$, $b$, et $c$, on note:
$$
D(a,b,c) := abc\, (c-a-b)
$$
$D$ est invariant sous $(a,b,c)\mapsto (b,a,c)$, ainsi que $(a,b,c)\mapsto (a,b,a+b-c)$, et $(a,b,c)\mapsto (-a,-b,-c)$.
Ces symétries de $D$ commutent deux à deux et sont d'ordre 2, ce qui fait un groupe d'odre 8 de transformations $(a,b,c)\mapsto (a',b',c')$ qui laissent $D$ invariant.
Donc la question est: existe-t-il deux triplets $(a,b,c)$ et $(a',b',c')$, non équivalents dans le sens ci-dessus, tels que
$$
D(a,b,c) = D(a',b',c').
$$
Un exemple suffit, mais si vous avez d'autres remarques je suis preneur.
NB: J'ai peut-être oublié des symétries évidentes de $D$. L'esprit, c'est que les examples ne doivent pas être "triviaux".
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Réponses
Je répète le Nota Bene:
NB: J'ai peut-être oublié des symétries évidentes de D. L'esprit, c'est que les exemples ne doivent pas être "triviaux".
Cependant je crois que j'ai mal formulé ma question, et je ne sais pas très bien comment la formuler.
Je pense que pour $d$ suffisamment générique, il y en a au plus 8, et ton exemple montre que quand $d=-n^4$ il y en a d'autres. Il y a probablement plein d'autres exemples, j'aurais dû réfléchir un peu plus avant de poster.
On pose a' = k a ; b' = j b et c' = i c
On obtient :
c = ( a ( 1- k² i j) + b (1 - k i j²) ) / ( 1 - k i² j )
qui peut donner des entiers, par exemple si k = i = 1
c = a + b ( 1 + j )
Les factorisations correspondantes de $D$ s'obtiennent l'une de l'autre par permutation des facteurs:
$a\cdot b\cdot (a+b+jb)\cdot jb = a \cdot jb\cdot (a+b+jb)\cdot b$.