Facteurs premiers de nombre de Mersenne

Il me semble que $p = 17$, $k = 3$ est un contre-exemple: On a $2^{3 \cdot 17}-1 = (2^{17}-1) \cdot 7 \cdot 103 \cdot 2143 \cdot 11119$, et les facteurs sont tous $\le 2^{17}-1 = 131071$.

Bonjour,

Sauf erreur, lorsque $p$ est premier, son indicatrice d'Euler est tout simplement $p-1$.
Conjectures-tu que blabla ou tentes-tu de résoudre un problème dont la solution est connue par d'autre(s) que toi?

Bonjour

Si j'ai bien compris le problème, j'ai bien dit si

pour $p=2,3,5,7,p=12,...$
$(2^{((p-1)\cdot p)}-1)mod(2^p-1)=0$

Donc tu dois pourvoir écrit quelque chose de la forme $(2^p-1)\cdot(..)=2^{((p-1)\cdot p)}-1$

Mes 3 centimes

Cordialement remy

Je sais,je l'ai fait exprès ces pas une erreur, tu peux étendre aux entiers non premier
ton indicateur il sort dou ? Juste par curiosité .À froid cela ressemble de loin aux petit th de Fermat.


https://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_théorème_de_Fermat

Oui oui j'ai bien compris.

$ (2^{((p-1)\cdot p)}-1)=(2^p-1)\cdot p ^2 \cdot (\ldots)$
et cela que si $p$ est premier, perso rrive pas à faire mieux, pour l'instant d'autre pourrons peut-être ?

Cela ne me dit toujours pas d'où sort ton indicateur ok, je n'insiste pas.

msg supprimer par remy
Donc si je pose le problème différemment avec p premier


$2^{(p\cdot(p-1))}-1= 2^n-1$ en binaire j'ai bien $1,1,1,1,1,1,...,1$ donc un nombre $($ premier de Mersenne $)\cdot n$

question pourquoi $n$ aurait un facteur plus grand que $(2^p-1)$ ,et je fais l'impasse sur le petit th de Fermat.
perso vue la rareté des nombres premiers de Mersenne la démonstration ne me parait pas être évidente.

Bingo tu as raison ,une psite a l’arrache,
$2^{p\cdot(p-1))}-1= 2^m=2^p\cdot2^q$

sauf que $2^n-1$ en binaire et de la forme $1,1,1,1,1,...,1$

p=5 pour l'exemple $2^{4*5=20}$ ,$2^{2*10=20}$

un entier premier avec 5 bit, de la forme $1,1,1,1,1$ par exemple $31$

$2^{5\cdot(5-1))}-1=31\cdot(1+2^5+2^{10}+2^{15})$
un autre exemple avec un entier premier avec 2 bit $1,1$ par exemple $3$

$2^{5\cdot(5-1))}-1=3\cdot(1+2^2+2^4+2^6+2^8+2^{10}+...+2^{18})$
donc il si existe un facteur premier plus grand que $(2^p-1) $ donc par exemple avec 6 bits
aux hasard 41 il y a une histoire de décalage ou de retenue à voir, pour former une chaîne de caractères de la forme
$1,1,1,1,1,...,1$

il ne reste plus qu'a justifié la cuisine parce que pour info
$2^{5\cdot(5-1))}-1=3\cdot5^2\cdot11\cdot31\cdot41$
mes 3 centimes aller 4

Cordialement remy