Progression arithmétique

On peut affaiblir l'hypothèse "a,b,c,d sont en progression arithmétique" et la remplacer par $a+d=b+c$.

En notant $s=a+d=b+c$ on calcule $a^2+d^2=s^2-2ad$ puis $a^4+d^4=s^4-4s^2ad+2a^2d^2$

On calcule de même $b^2+c^2$ et $b^4+c^4$.

On calcule enfin $a^4+b^4+c^4+d^4$ et $(a^2+d^2)(b^2+c^2)$.

L'égalité souhaitée en découle immédiatement.

L'égalité à démontrer étant invariante par permutation des variables, la condition $a+d=b+c$ peut être remplacée par $a+c=b+d$ ou $a+b=c+d$.

L'égalité à démontrer étant inchangée si on change les signes de deux des variables, la condition $a+d=b+c$ peut être remplacée par $a+b+c+d=0$.

La factorisation de kolotoko montre qu'il n'y a pas d'autres possibilités.