Factorisation

Tu peux observer que $\frac{P_n - P_k}{P_r}$ ressemble fortement à une somme géométrique par exemple.

Simeon-urbain:
J'espère que ton accident était sans gravité même si provisoirement handicapant.

En suivant l'indication de Poirot.
$p$ premier, $q,r,k$ des entiers naturels non nuls et $n=qr+k$.
\begin{align}P_n-P_k=t^{p^n}-t^{p^k}=t^{p^{qr+k}}-t^{p^k}=t^{p^{k}}\big(t^{p^{qr}}-1\big)

\end{align} Or, $\displaystyle p^{qr}=p^{r-1}\times p^{(q-1)r+1}$ donc,
\begin{align}P_n-P_k=t^{p^{k}}\Big(\big(t^{p^{r-1}}\big)^{ p^{(q-1)r+1}}-1\Big).

\end{align} On sait par ailleurs que si $u,v$ sont des entiers naturels alors le polynôme $x^{uv}-1$ est divisible par $x^u-1$
(on peut le démontrer en utilisant la formule qui permet de sommer les $v$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $x^u$).
Donc, $P_n-P_k$ est divisible par $\displaystyle t^{p^{k}}\big(t^{p^{r-1}}-1\big)$
Il y a plus qu'à intégrer un des facteurs $t^p$ dans la parenthèse et on a fini.

J'ai été un peu lâche sur les valeurs de $n,r,k$ il faut peut-être combler les manques "à la main".

PS. En fait, après examen, on a comme dans l'énoncé, seulement besoin que $r$ soit non nul.

PS2. Les énoncés qui parlent de division euclidienne et dans lesquels $r$ n'est pas le reste...BOF !

PS3. Il y a un truc qui ne va pas.:-D