Commutativité et exponentiation
Bonjour. Voici un problème que je n’arrive pas à résoudre : soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $m<n$ et $m^n =n^m $. Montrer que $m=2$ et $n=4$. Pour l’instant j’arrive seulement à prouver que $n$ est une puissance de $m$. Pour cela je montre d’abord que $m$ divise $n$ en regardant leur quotient à la puissance $m$ qui est une puissance de $m$ donc un entier, donc $n/m$ aussi. Ensuite je regarde leurs décompositions en facteurs premiers qui utilisent les mêmes premiers, et je remarque que le quotient des valuations en chacun de ces premiers est égal à $n/m$, donc $n$ est une puissance de $m$.
Je n’ai pas d’ordi ce week-end, si vous tenez à obtenir des détails je peux vous joindre une photo.
Je n’ai pas d’ordi ce week-end, si vous tenez à obtenir des détails je peux vous joindre une photo.
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Réponses
Cet exercice se fait très bien en analyse.
Édit : Je n'avais pas vu le message de Poirot.
Je rappelle qu’un raisonnement d’analyse permet de trouver ce résultat.
Il me semble qu’un fil avait recensé diverses méthodes.
Puis en étendant le résultat aux complexes (avec une précaution pour les puissances).
Édit :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,96315,97829
Il en existe un plus récent où, Chaurien, que je salue, avait proposé de résoudre cela dans $\mathbb Q^2$
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1546020,1546748#msg-1546748
Je ne me souvenais même pas que j’avais initié ce fil.
Incroyable...
Alois me guetterait ?