Commutativité et exponentiation

Bonjour. Voici un problème que je n’arrive pas à résoudre : soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $m<n$ et $m^n =n^m $. Montrer que $m=2$ et $n=4$. Pour l’instant j’arrive seulement à prouver que $n$ est une puissance de $m$. Pour cela je montre d’abord que $m$ divise $n$ en regardant leur quotient à la puissance $m$ qui est une puissance de $m$ donc un entier, donc $n/m$ aussi. Ensuite je regarde leurs décompositions en facteurs premiers qui utilisent les mêmes premiers, et je remarque que le quotient des valuations en chacun de ces premiers est égal à $n/m$, donc $n$ est une puissance de $m$.

Je n’ai pas d’ordi ce week-end, si vous tenez à obtenir des détails je peux vous joindre une photo.