Divisibilité de $2n+1$ et de $n^2+1$

Ce diviseur $d$ divise $n(2n+1)-2(n^2+1)$, etc.

Chaurien:

$n(2n+1)-2(n^2+1)=2n^2+n-2n^2-2=n-2$

et on fait quoi de cette égalité?

Et donc $n=5\cdot k +2$, $k\in \mathbb{N}$

Majuju:

Si $d$ divise $a$ et $b$ alors il divise $au+bv$ avec $a,b,d,u,v$ des entiers.

On peut appliquer ce principe en utilisant l'identité suggérée par Ev:

$4(n^2+1)-(2n+1)(2n-1) = 5$

Cela revient à prendre $a=n^2+1,b=2n+1$ $u=4(n^2+1),v=2n-1$

On n'a pas besoin de congruence pour cet exercice.

On peut retrouver cette identité d'une façon systématique:

On pose la division de polynômes $n^2+1$ par $2n+1$ considérés comme éléments de $\mathbb{Q}[n]$.

On va obtenir

1)Quotient: $\dfrac{1}{2}n$ reste: $1-\dfrac{1}{2}n$
2) Quotient: $\dfrac{1}{4}$ reste: $\dfrac{5}{4}$

On a donc l'identité suivante:

$n^2+1=\left(\dfrac{1}{2}n-\dfrac{1}{4}\right)(2n+1)+\dfrac{5}{4}$

On fait disparaître les numérateurs en multipliant les deux membres de l'égalité par $4$

On obtient $4(n^2+1)=(2n-1)(2n+1)+5$

Ce qui est équivalent à l'identité obtenue par Ev plus haut.