Théorie du corps de classes

Bonjour,
Soit $L/K $ un extension cyclique de corps de nombres, et $\mathfrak m$ un $K$-module.
Posons $C_\mathfrak m=I_K^\mathfrak m/N_{L/K}(I_L^\mathfrak m)i(K_{\mathfrak m,1})$ et $h(\mathfrak m) $ cardinal de $C_\mathfrak m$.
L'égalité fondamentale des extensions cycliques dit que si $\mathfrak m$ est divisible par toutes les places ramifiées dans $L/K$ et que les exposant de $\mathfrak m$ sont assez grand, alors $h(\mathfrak m)=[L:K]$.

Comment vérifier la condition "les exposants de $\mathfrak m$ sont assez grands" ? Est-ce qu'il existe une condition équivalente qui est plus pratique ?

Si $K=\mathbb Q$ et $L=\mathbb Q(\sqrt 2)$ et $\mathfrak m=(2)^4$ comment vérifier si on a l'égalité fondamentale ou non ?
Merci bien de m'expliquer ces choses.